Supondo as matrizes boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C} e boldsymbol{D} quadradas, de mesma ordem e inversíveis, resolver as equações matriciais nas quais a matriz boldsymbol{X} é a variável.
boldsymbol{D}^{-1} \boldsymbol{X} \boldsymbol{D}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{C}

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes quadradas de mesma ordem e inversíveis, \boldsymbol{A},\boldsymbol{B},\boldsymbol{C} e \boldsymbol{D}, e a equação matricial
\boldsymbol{D}^{-1}\,\boldsymbol{X}\,\boldsymbol{D} = \boldsymbol{A}\,\boldsymbol{C}.
Queremos isolar \boldsymbol{X}.

Passo 2

Como \boldsymbol{D} é inversível, podemos pré-multiplicar ambos os lados por \boldsymbol{D}:
\boldsymbol{D}\,\bigl(\boldsymbol{D}^{-1}\,\boldsymbol{X}\,\boldsymbol{D}\bigr) = \boldsymbol{D}\,\bigl(\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{C}\bigr).
Pela associatividade e porque \boldsymbol{D}\,\boldsymbol{D}^{-1} = \boldsymbol{I}, isso vira
\boldsymbol{I}\,\boldsymbol{X}\,\boldsymbol{D} = \boldsymbol{D}\,\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{C} \quad\Longrightarrow\quad \boldsymbol{X}\,\boldsymbol{D} = \boldsymbol{D}\,\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{C}.

Passo 3

Agora pós-multiplicamos por \boldsymbol{D}^{-1}, ainda usando a inversibilidade de \boldsymbol{D}:
\bigl(\boldsymbol{X}\,\boldsymbol{D}\bigr)\,\boldsymbol{D}^{-1} = \bigl(\boldsymbol{D}\,\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{C}\bigr)\,\boldsymbol{D}^{-1}.
Pela associatividade e \boldsymbol{D}\,\boldsymbol{D}^{-1} = \boldsymbol{I}, obtemos
\boldsymbol{X}\,\bigl(\boldsymbol{D}\,\boldsymbol{D}^{-1}\bigr) = \boldsymbol{D}\,\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{C}\,\boldsymbol{D}^{-1} \quad\Longrightarrow\quad \boldsymbol{X} = \boldsymbol{D}\,\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{C}\,\boldsymbol{D}^{-1}.

Resposta

\boldsymbol{X} = \boldsymbol{D}\,\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{C}\,\boldsymbol{D}^{-1}.

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