Supondo as matrizes boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C} e boldsymbol{D} quadradas, de mesma ordem e inversíveis, resolver as equações matriciais nas quais a matriz boldsymbol{X} é a variável.
A B C X^{2} D^{2}=A B C X D

Passo 1

O enunciado dá a equação matricial
A\,B\,C\,X^{2}\,D^{2}=A\,B\,C\,X\,D
onde A,B,C,D são quadradas, mesma ordem e inversíveis, e pede para resolver em relação à matriz incógnita X.

Passo 2

Como A\,B\,C é invertível, multiplica­mos à esquerda por (A\,B\,C)^{-1}, obtendo
X^{2}\,D^{2}=X\,D.

Passo 3

Em seguida, como D é invertível, multiplicamos à direita por D^{-2}, e chega­mos a
X^{2}=X\,D^{-1}.

Passo 4

Reescrevemos essa igualdade como
X^{2}-X\,D^{-1}=0
ou, agrupando em fator comum à esquerda,
X\,(X-D^{-1})=0.

Passo 5

Da relação X\,(X-D^{-1})=0 seguem as soluções gerais na álgebra de matrizes. Em particular, se exigirmos que X seja invertível, então só resta
X-D^{-1}=0 \quad\Longrightarrow\quad X=D^{-1}.
Se permitirmos soluções singulares, há também a solução trivial X=0, pois 0\,(0-D^{-1})=0.

Resposta

As soluções da equação são as matrizes X tais que
X\,(X-D^{-1})=0,
ou seja, em especial
X=0 \quad\text{ou}\quad X=D^{-1},
sendo X=D^{-1} a única solução quando se exige X invertível.

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