- Supondo que a temperatura média ao nível do mar (altitude
) seja de
, dê a expressão da temperatura
em
, em função da altitude
em quilômetros, para altitudes em que o modelo acima funciona.
- Estime a temperatura a 2 km de altitude.
- É difícil determinar exatamente onde termina a atmosfera, mas normalmente coloca-se este limite a 100 km de altitude. Sabe-se também que a menor temperatura possível é de
(o chamado zero absoluto). Com estes dados, por que podemos afirmar que o modelo para a temperatura obtido no item anterior funciona ou não funciona para toda as altitudes na atmosfera?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte:
- Dado: a temperatura média ao nível do mar (altitude
) é . - Pede 1: dar a expressão da temperatura
em em função da altitude em quilômetros, usando “o modelo acima” (presumir o modelo padrão de variação linear da temperatura com a altitude). - Pede 2: estimar a temperatura a
de altitude. - Pede 3: usando que a atmosfera costuma ser tomada até
e que a menor temperatura física é , dizer por que o modelo do item 1 funciona ou não para todas as altitudes da atmosfera.
Passo 2
Escolha do modelo e explicação do que é uma lei linear (aqui ensinando a ideia).
- Em meteorologia elementar há um modelo simples e muito usado: a temperatura decresce aproximadamente de forma linear com a altitude, com um gradiente médio chamado de “lapse rate” ambiental padrão de
por quilômetro no troposfera. Isso significa que, em média, a cada aumento de na altitude a temperatura cai . - Uma função linear tem a forma geral
onde:
-
é a temperatura em à altitude (em ); -
é a temperatura na referência (intercepto), aqui ; -
é a inclinação (slope) com unidades . Se for negativo a temperatura diminui com a altitude. - Vamos adotar o gradiente padrão
. Assim substituímos e na forma linear para obter a expressão pedida.
Passo 3
Derivação explícita da expressão
.
- Substituindo
e na fórmula linear:
- Simplificando:
onde
está em
e
em
.
- Interpretação prática: se
km, ; se km, cai mais etc. A unidade está coerente: .
Passo 4
Estimativa numérica da temperatura a
(mostrando as contas passo a passo).
- Aplicando
na fórmula:
- Calculando
. Portanto
- Resultado:
.
Passo 5
Verificação da validade do modelo usando o limite do zero absoluto.
- Se o modelo linear fosse válido até altitudes muito grandes, poderíamos perguntar para que altitude
a temperatura prevista chega ao zero absoluto . Igualamos:
- Resolvendo para
:
- Efetuando a divisão:
; sobra que corresponde a quando dividido por . Assim
- Interpretação: o modelo linear prevê que a temperatura atinge
já por volta de . Para altitudes maiores, a fórmula daria temperaturas abaixo do zero absoluto, o que é fisicamente impossível.
Passo 6
Conclusão física e comentário prático (por que o modelo não vale para toda a atmosfera).
- Conclusão lógica: como o modelo linear com gradiente
chega ao zero absoluto por volta de , ele não pode ser válido até (pois isso implicaria temperaturas impossíveis). Logo o modelo não funciona para toda a extensão da atmosfera. - Comentário físico adicional (útil para a prova): na realidade a atmosfera é estratificada em camadas (troposfera, estratosfera, mesosfera, termosfera) e a variação de temperatura com altura não é uma simples linha reta em todas elas — por exemplo, na estratosfera a temperatura pode aumentar com a altura por causa da absorção de radiação ultravioleta pela ozonosfera. Portanto o modelo linear com
é apenas uma boa aproximação local (especialmente dentro da troposfera) e não uma lei válida para toda a atmosfera até .
Resposta
Não; o modelo linear não funciona para toda a atmosfera porque prevê atingir o zero absoluto em