1. Supondo que a temperatura média ao nível do mar (altitude h=0 ) seja de 20^{\circ} \mathrm{C}, dê a expressão da temperatura T(h) em { }^{\circ} \mathrm{C}, em função da altitude h em quilômetros, para altitudes em que o modelo acima funciona.
  2. Estime a temperatura a 2 km de altitude.
  3. É difícil determinar exatamente onde termina a atmosfera, mas normalmente coloca-se este limite a 100 km de altitude. Sabe-se também que a menor temperatura possível é de -273,15^{\circ} \mathrm{C} (o chamado zero absoluto). Com estes dados, por que podemos afirmar que o modelo para a temperatura obtido no item anterior funciona ou não funciona para toda as altitudes na atmosfera?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte:
  • Dado: a temperatura média ao nível do mar (altitude h=0) é 20^\circ\mathrm{C}.
  • Pede 1: dar a expressão da temperatura T(h) em {}^\circ\mathrm{C} em função da altitude h em quilômetros, usando “o modelo acima” (presumir o modelo padrão de variação linear da temperatura com a altitude).
  • Pede 2: estimar a temperatura a 2\\ \mathrm{km} de altitude.
  • Pede 3: usando que a atmosfera costuma ser tomada até 100\\ \mathrm{km} e que a menor temperatura física é -273{,}15^\circ\mathrm{C}, dizer por que o modelo do item 1 funciona ou não para todas as altitudes da atmosfera.

Passo 2

Escolha do modelo e explicação do que é uma lei linear (aqui ensinando a ideia).
  • Em meteorologia elementar há um modelo simples e muito usado: a temperatura decresce aproximadamente de forma linear com a altitude, com um gradiente médio chamado de “lapse rate” ambiental padrão de -6{,}5^\circ\mathrm{C} por quilômetro no troposfera. Isso significa que, em média, a cada aumento de 1\\ \mathrm{km} na altitude a temperatura cai 6{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Uma função linear tem a forma geral
T(h)=T_0 + m\,h,
onde:
  • T(h) é a temperatura em {}^\circ\mathrm{C} à altitude h (em \mathrm{km});
  • T_0 é a temperatura na referência h=0 (intercepto), aqui T_0=20^\circ\mathrm{C};
  • m é a inclinação (slope) com unidades {}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{km}. Se m for negativo a temperatura diminui com a altitude.
  • Vamos adotar o gradiente padrão m=-6{,}5 ({}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{km}). Assim substituímos T_0 e m na forma linear para obter a expressão pedida.

Passo 3

Derivação explícita da expressão T(h).
  • Substituindo T_0=20 e m=-6{,}5 na fórmula linear:
T(h)=20 + (-6{,}5)\,h.
  • Simplificando:
T(h)=20 - 6{,}5\,h,
onde h está em \mathrm{km} e T(h) em {}^\circ\mathrm{C}.
  • Interpretação prática: se h=1 km, T(1)=20-6{,}5=13{,}5^\circ\mathrm{C}; se h=2 km, cai mais 6{,}5^\circ\mathrm{C} etc. A unidade está coerente: ({}^\circ\mathrm{C}) + ({}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{km})\cdot(\mathrm{km}) = {}^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Estimativa numérica da temperatura a 2\\ \mathrm{km} (mostrando as contas passo a passo).
  • Aplicando h=2 na fórmula:
T(2)=20 - 6{,}5\cdot 2.
  • Calculando 6{,}5\cdot 2 = 13. Portanto
T(2)=20 - 13 = 7.
  • Resultado: T(2)=7^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Verificação da validade do modelo usando o limite do zero absoluto.
  • Se o modelo linear fosse válido até altitudes muito grandes, poderíamos perguntar para que altitude h a temperatura prevista chega ao zero absoluto -273{,}15^\circ\mathrm{C}. Igualamos:
20 - 6{,}5\,h = -273{,}15.
  • Resolvendo para h:
6{,}5\,h = 20 + 273{,}15 = 293{,}15,
h = \dfrac{293{,}15}{6{,}5}.
  • Efetuando a divisão: 6{,}5\cdot 45 = 292{,}5; sobra 0{,}65 que corresponde a 0{,}1 quando dividido por 6{,}5. Assim
h \approx 45{,}1\\ \mathrm{km}.
  • Interpretação: o modelo linear prevê que a temperatura atinge -273{,}15^\circ\mathrm{C} já por volta de 45{,}1\\ \mathrm{km}. Para altitudes maiores, a fórmula daria temperaturas abaixo do zero absoluto, o que é fisicamente impossível.

Passo 6

Conclusão física e comentário prático (por que o modelo não vale para toda a atmosfera).
  • Conclusão lógica: como o modelo linear com gradiente -6{,}5^\circ\mathrm{C}/\mathrm{km} chega ao zero absoluto por volta de 45{,}1\\ \mathrm{km}, ele não pode ser válido até 100\\ \mathrm{km} (pois isso implicaria temperaturas impossíveis). Logo o modelo não funciona para toda a extensão da atmosfera.
  • Comentário físico adicional (útil para a prova): na realidade a atmosfera é estratificada em camadas (troposfera, estratosfera, mesosfera, termosfera) e a variação de temperatura com altura não é uma simples linha reta em todas elas — por exemplo, na estratosfera a temperatura pode aumentar com a altura por causa da absorção de radiação ultravioleta pela ozonosfera. Portanto o modelo linear com m=-6{,}5^\circ\mathrm{C}/\mathrm{km} é apenas uma boa aproximação local (especialmente dentro da troposfera) e não uma lei válida para toda a atmosfera até 100\\ \mathrm{km}.

Resposta

T(h)=20 - 6{,}5\,h\\ \,({}^\circ\mathrm{C}),\\ h\\ \text{em km}
T(2)=7^\circ\mathrm{C}
Não; o modelo linear não funciona para toda a atmosfera porque prevê atingir o zero absoluto em h\approx45{,}1\\ \mathrm{km} (e valores impossíveis abaixo dele), além do fato físico de que diferentes camadas atmosféricas exibem comportamentos térmicos distintos.

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