1. Suponha que uma caixa tenha suas faces paralelas aos planos coordenados e os pontos \left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) e \left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right) sejam extremos de uma diagonal.
    (a) Determine as coordenadas dos seis cantos restantes.

Passo 1

O enunciado nos dá uma caixa cujas faces são paralelas aos planos coordenados e declara que os pontos \bigl(x_{1},y_{1},z_{1}\bigr) e \bigl(x_{2},y_{2},z_{2}\bigr) são extremos de uma diagonal dessa caixa.
O que precisamos fazer é encontrar as coordenadas dos outros seis vértices. Vamos usar a ideia de que, num paralelepípedo alinhado aos eixos, todas as coordenadas dos vértices são obtidas combinando x_{1} ou x_{2}, y_{1} ou y_{2}, z_{1} ou z_{2}.

Passo 2

Em geral, os vértices de uma caixa alinhada aos eixos em \mathbb{R}^3 são todos os tripletos
(x_i,y_j,z_k) \quad\text{com}\quad i,j,k\in\{1,2\}.
Desses 8 vértices, dois já são dados: \bigl(x_{1},y_{1},z_{1}\bigr) e \bigl(x_{2},y_{2},z_{2}\bigr).
Portanto, os seis restantes são justamente as demais combinações.

Passo 3

Listando as combinações que ainda não apareceram, os seis cantos restantes são:
(x_{1},y_{1},z_{2}),\quad (x_{1},y_{2},z_{1}),\quad (x_{1},y_{2},z_{2}),\quad (x_{2},y_{1},z_{1}),\quad (x_{2},y_{1},z_{2}),\quad (x_{2},y_{2},z_{1}).

Resposta

(x_{1},y_{1},z_{2}) (x_{1},y_{2},z_{1}) (x_{1},y_{2},z_{2}) (x_{2},y_{1},z_{1}) (x_{2},y_{1},z_{2}) (x_{2},y_{2},z_{1})

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