Considere os pontos P(3,1,0) e Q(1,4,4).
Esboce o triângulo de vértices P, Q e (1,4,0). Sem calcular distâncias, explique por que esse triângulo é retângulo e, então, aplique o Teorema de Pitágoras duas vezes para encontrar a distância de P a Q.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos os pontos P(3,1,0), Q(1,4,4) e R(1,4,0). O objetivo é mostrar que o triângulo de vértices PQR é retângulo em R sem calcular distâncias diretamente, e em seguida usar o Teorema de Pitágoras duas vezes para obter a distância PQ. O conteúdo aqui é geometria analítica em \mathbb{R}^3, usando vetores e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Para ver que o ângulo em R é reto, considere os vetores \overrightarrow{RP}=P-R=(3-1,\,1-4,\,0-0)=(2,\,-3,\,0)
e \overrightarrow{RQ}=Q-R=(1-1,\,4-4,\,4-0)=(0,\,0,\,4).
O produto escalar vale
\overrightarrow{RP}\cdot\overrightarrow{RQ} =2\cdot0 + (-3)\cdot0 + 0\cdot4 =0,
logo \overrightarrow{RP}\perp\overrightarrow{RQ} e o triângulo é retângulo em R.

Passo 3

Primeira aplicação de Pitágoras: como P e R têm mesma coordenada z, a distância PR fica no plano z=0. Assim,
PR = \sqrt{(3-1)^2 + (1-4)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}.

Passo 4

Segunda aplicação de Pitágoras no triângulo retângulo PQR: o cateto vertical é
RQ = |4 - 0| = 4,
e o outro cateto já é PR=\sqrt{13}. Portanto,
PQ = \sqrt{PR^2 + RQ^2} = \sqrt{13 + 16} = \sqrt{29}.

Resposta

\displaystyle \sqrt{29}

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