Considere os pontos P(3,1,0) e Q(1,4,4).
Esboce o triângulo de vértices P, Q e (1,4,0). Sem calcular distâncias, explique por que esse triângulo é retângulo e, então, aplique o Teorema de Pitágoras duas vezes para encontrar a distância de P a Q.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos os pontos P(3,1,0), Q(1,4,4) e R(1,4,0). O objetivo é mostrar que o triângulo de vértices PQR é retângulo em R sem calcular distâncias diretamente, e em seguida usar o Teorema de Pitágoras duas vezes para obter a distância PQ. O conteúdo aqui é geometria analítica em \mathbb{R}^3, usando vetores e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Para ver que o ângulo em R é reto, considere os vetores \overrightarrow{RP}=P-R=(3-1,\,1-4,\,0-0)=(2,\,-3,\,0)
e \overrightarrow{RQ}=Q-R=(1-1,\,4-4,\,4-0)=(0,\,0,\,4).
O produto escalar vale