Suponha que o campo elétrico nos pontos de uma seção reta de um fio condutor, por onde passa uma corrente alternada de frequência \nu=60 \mathrm{~Hz}, seja dado por \vec{E}=E_{0} \sin (2 \pi \nu t) \hat{u}, onde E_{0} e \nu são constantes positivas e \hat{u} é um vetor unitário paralelo ao fio. Designando por j_{\text {max }}^{(d)} e j_{\text {max }}, respectivamente, os valores máximos dos módulos dos vetores densidade de corrente de deslocamento e densidade de corrente de condução, faça uma estimativa da razão j_{\max }^{(d)} / j_{\max }. Por simplicidade, considere como \varepsilon_{0} a permissividade do meio. Para a resistividade do material que compõe o fio use o valor \rho=3 \times 10^{-8} \Omega \cdot \mathrm{~m} e lembre-se que 1 /\left(4 \pi \varepsilon_{0}\right)=9 \times 10^{9} \mathrm{Nm}^{2} \mathrm{C}^{-2}.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico ao longo de um fio submetido a corrente alternada de frequência \nu=60\\ \mathrm{Hz},
\vec{E}=E_{0}\sin(2\pi\nu t)\,\hat{u}.
Queremos comparar a densidade de corrente de deslocamento (de Maxwell) com a densidade de corrente de condução (de Ohm).
Para isso vamos precisar de:
– A expressão de corrente de deslocamento \displaystyle j^{(d)}=\varepsilon_{0}\,\partial E/\partial t.
– A lei de Ohm macroscópica \displaystyle j=\sigma E com \sigma=1/\rho.
– Os valores numéricos \rho=3\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m} e \varepsilon_{0}=1/(4\pi\,9\times10^{9})\approx8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 2

Escrevemos as expressões instantâneas para cada densidade de corrente:
j^{(d)}(t)=\varepsilon_{0}\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl[E_{0}\sin(2\pi\nu t)\bigr]
j(t)=\sigma\,E_{0}\sin(2\pi\nu t)

Passo 3

Calculamos os valores máximos de cada uma:
– Como \frac{d}{dt}\sin(2\pi\nu t)=2\pi\nu\cos(2\pi\nu t), temos
j_{\max}^{(d)}=\varepsilon_{0}\,E_{0}\,2\pi\nu.
– E pela lei de Ohm, o módulo máximo é
j_{\max}=\sigma\,E_{0}=\frac{E_{0}}{\rho}.

Passo 4

Formamos a razão das amplitudes para eliminar E_{0}:
\frac{j_{\max}^{(d)}}{j_{\max}} =\frac{\varepsilon_{0}\,E_{0}\,2\pi\nu}{E_{0}/\rho} =\varepsilon_{0}\,\rho\,2\pi\nu.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos:
\varepsilon_{0}\approx8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
\rho=3\times10^{-8}\\ \Omega\cdot\mathrm{m},
\nu=60\\ \mathrm{Hz}.
2\pi\nu\approx2\pi\times60\approx377\\ \mathrm{s^{-1}}
\frac{j_{\max}^{(d)}}{j_{\max}} \approx8{,}85\times10^{-12}\times3\times10^{-8}\times377 \approx1\times10^{-16}.

Resposta

A razão estimada é da ordem de 10^{-16}.

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