(Extra!) Considere o problema anterior. Suponha que em
a haste tenha sido abandonada do repouso.
(a) Escreva, a partir da segunda lei de Newton, a equação diferencial para a velocidade
da barra.
(b) Resolva a equação do item anterior e encontre a velocidade
em um instante de tempo qualquer.
(c) Verifique que, para
, onde
é a velocidade terminal encontrada no item (d) do exercício anterior.
OBS: Formalmente, este problema é equivalente ao problema de um paraquedista caindo de um avião considerando uma força de resistência do ar proporcional à velocidade.
(a) Escreva, a partir da segunda lei de Newton, a equação diferencial para a velocidade
(b) Resolva a equação do item anterior e encontre a velocidade
(c) Verifique que, para
Passo 1
O enunciado considera o movimento de uma barra liberada do repouso em
, sujeita à força peso
para baixo e a uma força de resistência do ar proporcional à velocidade,
, para cima. Vamos aplicar a segunda lei de Newton e resolver a equação diferencial de primeira ordem resultante.
Passo 2
Aplicando a segunda lei de Newton no sentido para baixo tomamos como positivo o sentido do movimento e escrevemos
Passo 3
Reescrevendo em forma padrão
o fator integrante é
. Multiplicando toda a equação por
e reconhecendo a derivada do produto, temos
Integrando de
a
e usando
,
logo
Passo 4
Para verificar o comportamento assintótico, note que
. Assim,
o que coincide com a velocidade terminal
encontrada anteriormente.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)