(Extra!) Considere o problema anterior. Suponha que em t=0 a haste tenha sido abandonada do repouso.
(a) Escreva, a partir da segunda lei de Newton, a equação diferencial para a velocidade v da barra.
(b) Resolva a equação do item anterior e encontre a velocidade v(t) em um instante de tempo qualquer.
(c) Verifique que, para t \rightarrow \infty, v(t) \rightarrow v_{T}, onde v_{T} é a velocidade terminal encontrada no item (d) do exercício anterior.
OBS: Formalmente, este problema é equivalente ao problema de um paraquedista caindo de um avião considerando uma força de resistência do ar proporcional à velocidade.

Passo 1

O enunciado considera o movimento de uma barra liberada do repouso em t=0, sujeita à força peso mg para baixo e a uma força de resistência do ar proporcional à velocidade, F_d = k\,v, para cima. Vamos aplicar a segunda lei de Newton e resolver a equação diferencial de primeira ordem resultante.

Passo 2

Aplicando a segunda lei de Newton no sentido para baixo tomamos como positivo o sentido do movimento e escrevemos
m \frac{dv}{dt} = m\,g - k\,v.

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão
\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m}v = g,
o fator integrante é \mu(t)=e^{(k/m)t}. Multiplicando toda a equação por \mu(t) e reconhecendo a derivada do produto, temos
\frac{d}{dt}\bigl(v\,e^{(k/m)t}\bigr) = g\,e^{(k/m)t}.
Integrando de 0 a t e usando v(0)=0,
v(t)\,e^{(k/m)t} = \int_{0}^{t} g\,e^{(k/m)s}\,ds = \frac{m\,g}{k}\bigl(e^{(k/m)t}-1\bigr),
logo
v(t) = \frac{m\,g}{k}\bigl(1 - e^{-(k/m)t}\bigr).

Passo 4

Para verificar o comportamento assintótico, note que \displaystyle\lim_{t\to\infty}e^{-(k/m)t}=0. Assim,
\lim_{t\to\infty}v(t)=\frac{m\,g}{k},
o que coincide com a velocidade terminal v_{T} encontrada anteriormente.

Resposta

(a) \displaystyle m\frac{dv}{dt}=m\,g-k\,v.
(b) \displaystyle v(t)=\frac{m\,g}{k}\bigl(1-e^{-(k/m)t}\bigr).
(c) \displaystyle \lim_{t\to\infty}v(t)=\frac{m\,g}{k}=v_{T}.

Exercícios relacionados