a) Suponha que um capital a_{0} seja investido numa aplicação que rende juros de 1 \% ao final de cada mês. Descreva o montante a_{n} no mês n.
b) Calcule o montante após 36 meses de aplicação se a_{0}=R \ 1000,00 . c) Caso você fique devendo \(\mathrm{R} \\) 1000,00\(para um banco, que cobre\)10 \% de juros ao mês, qual será sua dívida com o banco no final de 36 meses.(Nunca caia nessa!!!)

Passo 1

O enunciado trata de juros compostos: um capital inicial a_{0} cresce todo mês a uma taxa i formando o montante a_{n} após n meses. Vamos usar a fórmula de juros compostos para descrever a_{n} em função de a_{0}, de i e de n, e depois calcular casos concretos em (b) e (c).

Passo 2

Em juros compostos, a cada mês o montante do mês anterior rende juros e passa a ser base para o próximo cálculo. Ou seja,
a_{n}=a_{n-1}\,(1+i).
Iterando essa relação desde a_{0}, obtemos a fórmula geral
a_{n}=a_{0}\,(1+i)^{n}.

Passo 3

Para a aplicação de 1\% ao mês, i=0{,}01. Logo
a_{n}=a_{0}\,(1{,}01)^{n}.
Se a_{0}=1000 e n=36,
a_{36}=1000\cdot(1{,}01)^{36}\approx1000\cdot1{,}43077\approx1430{,}77.

Passo 4

No caso da dívida com juros de 10\% ao mês, i=0{,}10. Então
a_{n}=1000\,(1{,}10)^{n},
e para n=36
a_{36}=1000\cdot(1{,}10)^{36}\approx1000\cdot30{,}92722\approx30927{,}22.

Resposta

(a) \displaystyle a_{n}=a_{0}\,(1+i)^{n}.
(b) \displaystyle a_{36}=1000\,(1{,}01)^{36}\approx1430{,}77.
(c) \displaystyle a_{36}=1000\,(1{,}10)^{36}\approx30927{,}22.

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