Suponha uma classe com 10 meninos e 10 meninas. Se 4 estudantes são escolhidas aleatoriamente, qual a probabilidade de exatamente 2 meninos e 2 meninas serem selecionados?

Passo 1

O enunciado dá estas informações:
  • 10 meninos e 10 meninas, totalizando 20 estudantes.
  • São escolhidos aleatoriamente 4 estudantes.
  • A pergunta: qual a probabilidade de sair exatamente 2 meninos e 2 meninas?

Passo 2

Vamos identificar o espaço amostral (todas as escolhas possíveis de 4 entre os 20). O número de maneiras de escolher k elementos entre n sem considerar ordem é dado pela combinação
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdots1. Portanto o total de escolhas possíveis é
\binom{20}{4}.
Calculemos \binom{20}{4} de forma prática:
\binom{20}{4}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Podemos simplificar dividindo passo a passo: 20/4=5, 18/3=6, 6/2=3. Assim fica
\binom{20}{4}=5\cdot19\cdot3\cdot17=4845.

Passo 3

Agora contamos os casos favoráveis: exatamente 2 meninos e 2 meninas. Isso acontece quando escolhemos 2 dos 10 meninos e 2 das 10 meninas. O número de seleções assim é o produto das combinações:
\binom{10}{2}\cdot\binom{10}{2}.
Calculemos \binom{10}{2}:
\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2\cdot1}=45.
Logo o número de casos favoráveis é
45\cdot45=2025.

Passo 4

A probabilidade pedida é razão entre casos favoráveis e casos totais:
P=\frac{\binom{10}{2}\binom{10}{2}}{\binom{20}{4}}=\frac{2025}{4845}.
Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 15:
\frac{2025}{4845}=\frac{135}{323}.
Como verificação numérica, a aproximação decimal é
\frac{135}{323}\approx0,41797.

Passo 5

Interpretação curta (para ficar na memória): entre todas as formas de escolher 4 dos 20, cerca de 41{,}8\% das seleções têm exatamente 2 meninos e 2 meninas. A fórmula usada é a da distribuição hipergeométrica, mas aqui basta raciocinar com combinações como feito acima.

Resposta

\dfrac{135}{323}\approx0,41797

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