Três parafusos e três porcas são misturados. Se 4 deles são retiradas aleatoriamente, encontre a probabilidade de se obter 2 parafusos e 2 porcas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Há três parafusos e três porcas, portanto, no total, há 6 peças.
  • São retiradas aleatoriamente 4 peças, sem reposição (ou seja, sem voltar a peça ao pote).
  • A pergunta: qual a probabilidade de, entre as 4 retiradas, obter exatamente 2 parafusos e 2 porcas?

Passo 2

Entender o espaço amostral (o total de maneiras possíveis de retirar 4 peças): como a ordem em que as peças são retiradas não importa para o problema (só interessa o conjunto de 4 peças), contamos combinações. O número total de maneiras de escolher 4 peças dentre 6 é
\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!2!} = 15.
Isso significa que há 15 subconjuntos distintos de 4 peças possíveis, todos igualmente prováveis.

Passo 3

Contar as maneiras favoráveis (obter exatamente 2 parafusos e 2 porcas): devemos escolher 2 dos 3 parafusos e, simultaneamente, 2 das 3 porcas. O número de formas de fazer cada escolha é dado por combinações:
\binom{3}{2} = 3
para os parafusos e
\binom{3}{2} = 3
para as porcas. Pelo princípio fundamental da contagem (regra do produto), o número de maneiras favoráveis é o produto:
\binom{3}{2}\cdot\binom{3}{2} = 3\cdot 3 = 9.

Passo 4

Calcular a probabilidade como razão entre casos favoráveis e casos totais:
P(\text{2 parafusos e 2 porcas})=\frac{\binom{3}{2}\binom{3}{2}}{\binom{6}{4}}=\frac{9}{15}.
Simplificando a fração:
\frac{9}{15}=\frac{3}{5}=0,6.

Passo 5

Interpretação rápida para a prova (truque prático): quando há categorias (parafusos/porcas) e retirada sem reposição, usar combinação por categoria e multiplicar; dividir pelo total \binom{6}{4}. Aqui isso dá direto a fração que simplifica para \dfrac{3}{5}. Se quiser decorar: a fórmula geral para exatamente k sucessos numa categoria quando se tira n de N com K sucessos disponíveis é a hipergeométrica
\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}},
que, aplicada com N=6, K=3, n=4, k=2, retorna o mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{3}{5}

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