Suponha que a demanda diária X e Y de duas peças (A e B), pode ser considerado como uma variável aleatória com a seguinte função de probabilidade conjunta
f(x, y)= k(3 x+2 y-4), & se x, y=1,2,3 0, & c c
© Determine o coeficiente de correlação de X e Y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas peças, A e B, com demandas diárias representadas pelas variáveis aleatórias X e Y. A função de probabilidade conjunta é dada por:
f(x, y)= k(3 x+2 y-4), & se x, y=1,2,3 0, & caso contrário á
O conteúdo que vamos usar aqui é probabilidade conjunta e coeficiente de correlação. Precisamos encontrar o coeficiente de correlação entre X e Y.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de k. Sabemos que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Então, vamos somar f(x, y) para todos os valores possíveis de x e y (1, 2 e 3) e igualar a 1:
sumx=1^3 sumy=1^3 k(3x + 2y - 4) = 1

Passo 3

Vamos calcular cada termo da soma:
Para x = 1:
  • y = 1: 3(1) + 2(1) - 4 = 3 + 2 - 4 = 1
  • y = 2: 3(1) + 2(2) - 4 = 3 + 4 - 4 = 3
  • y = 3: 3(1) + 2(3) - 4 = 3 + 6 - 4 = 5
Para x = 2:
  • y = 1: 3(2) + 2(1) - 4 = 6 + 2 - 4 = 4
  • y = 2: 3(2) + 2(2) - 4 = 6 + 4 - 4 = 6
  • y = 3: 3(2) + 2(3) - 4 = 6 + 6 - 4 = 8
Para x = 3:
  • y = 1: 3(3) + 2(1) - 4 = 9 + 2 - 4 = 7
  • y = 2: 3(3) + 2(2) - 4 = 9 + 4 - 4 = 9
  • y = 3: 3(3) + 2(3) - 4 = 9 + 6 - 4 = 11

Passo 4

Agora somamos todos esses resultados e multiplicamos por k:
k(1 + 3 + 5 + 4 + 6 + 8 + 7 + 9 + 11) = k(54) = 1
Então, k = 154.

Passo 5

Agora que temos k, podemos escrever a função de probabilidade conjunta completa:
f(x, y) = 154(3x + 2y - 4), & se x, y=1,2,3 0, & caso contrário á

Passo 6

Para encontrar o coeficiente de correlação, precisamos calcular a média de X ( muX), a média de Y ( muY), as variâncias ( sigmaX^2 e sigmaY^2) e a covariância ( Cov(X,Y)).

Passo 7

Vamos calcular muX:
muX = sumx=1^3 sumy=1^3 x cdot f(x, y)
Fazendo as contas:
muX = 154(1 cdot 1 + 1 cdot 3 + 1 cdot 5 + 2 cdot 4 + 2 cdot 6 + 2 cdot 8 + 3 cdot 7 + 3 cdot 9 + 3 cdot 11) = 154(1 + 3 + 5 + 8 + 12 + 16 + 21 + 27 + 33) = 154(126) = 12654 = 73 approx 2.333

Passo 8

Agora, vamos calcular muY:
muY = sumx=1^3 sumy=1^3 y cdot f(x, y)
Fazendo as contas:
muY = 154(1 cdot 1 + 2 cdot 3 + 3 cdot 5 + 1 cdot 4 + 2 cdot 6 + 3 cdot 8 + 1 cdot 7 + 2 cdot 9 + 3 cdot 11) = 154(1 + 6 + 15 + 4 + 12 + 24 + 7 + 18 + 33) = 154(120) = 12054 = 209 approx 2.222

Passo 9

Agora vamos calcular E[XY]:
E[XY] = sumx=1^3 sumy=1^3 x y cdot f(x, y)
Fazendo as contas:
E[XY] = 154(1 cdot 1 cdot 1 + 1 cdot 2 cdot 3 + 1 cdot 3 cdot 5 + 2 cdot 1 cdot 4 + 2 cdot 2 cdot 6 + 2 cdot 3 cdot 8 + 3 cdot 1 cdot 7 + 3 cdot 2 cdot 9 + 3 cdot 3 cdot 11) = 154(1 + 6 + 15 + 8 + 24 + 48 + 21 + 54 + 99) = 154(276) = 27654 = 469 approx 5.111

Passo 10

Com isso, podemos calcular a covariância:
Cov(X,Y) = E[XY] - muX muY = 469 - 73 cdot 209 = 469 - 14027 = 138 - 14027 = -227 approx -0.074

Passo 11

Agora, vamos calcular a variância de X e Y:
Primeiro, E[X^2]:
E[X^2] = sumx=1^3 sumy=1^3 x^2 cdot f(x, y) = 154(1^2 cdot 1 + 1^2 cdot 3 + 1^2 cdot 5 + 2^2 cdot 4 + 2^2 cdot 6 + 2^2 cdot 8 + 3^2 cdot 7 + 3^2 cdot 9 + 3^2 cdot 11) = 154(1 + 3 + 5 + 16 + 24 + 32 + 63 + 81 + 99) = 154(324) = 6
Então,
sigmaX^2 = E[X^2] - (muX)^2 = 6 - (73)^2 = 6 - 499 = 54 - 499 = 59 approx 0.556
Segundo, E[Y^2]:
E[Y^2] = sumx=1^3 sumy=1^3 y^2 cdot f(x, y) = 154(1^2 cdot 1 + 2^2 cdot 3 + 3^2 cdot 5 + 1^2 cdot 4 + 2^2 cdot 6 + 3^2 cdot 8 + 1^2 cdot 7 + 2^2 cdot 9 + 3^2 cdot 11) = 154(1 + 12 + 45 + 4 + 24 + 72 + 7 + 36 + 99) = 154(300) = 30054 = 509 approx 5.556
Então,
sigmaY^2 = E[Y^2] - (muY)^2 = 509 - (209)^2 = 509 - 40081 = 450 - 40081 = 5081 approx 0.617

Passo 12

Agora, calculamos o desvio padrão de X e Y:
sigmaX = raizsigmaX^2 = raiz59 approx 0.745
sigmaY = raizsigmaY^2 = raiz5081 approx 0.784

Passo 13

Finalmente, podemos calcular o coeficiente de correlação:
rhoX,Y = Cov(X,Y)sigmaX sigmaY = -2270.745 times 0.784 approx -0.0740.585 approx -0.127

Resposta

O coeficiente de correlação entre X e Y é aproximadamente -0,127.

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