Sejam X1, ldots, Xn. variáveis aleatórias. Muitas vezes, é interessante realizar um estudo destas variáveis conjuntamente e não apenas de cada variável individualmente. Nestas situações, é comum utilizar-se o conceito de covariância para verificar o tipo de associação entre os pares de variáveis. Para isso, costuma-se definir a matriz de variância-covariância Sigma da variável aleatória n- dimensional (X1, ldots, Xn) da seguinte forma
Sigma=(cclc COV(X1, X1) & COV(X1, X1) & , ldots, & COV(X1, Xn) COV(X1, X2) & COV(X2, X2) & , ldots, & COV(X2, Xn) vdots & vdots & , cdots, & vdots COV(Xn, X1) & COV(Xn, X2) & , ldots, & COV(Xn, Xn) )
Note que Sigma é uma matriz simétrica de ordem n times n. Para n=4, considere a matriz de variância-covariância
Sigma=(cccc 16 & -3 & 2 & 1 -3 & 25 & 2 & 0 2 & 2 & 100 & 2 1 & 0 & 2 & 400 )
Determine: (a) Quais variáveis são não-correlacionadas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre variáveis aleatórias e como elas se relacionam umas com as outras usando algo chamado covariância. A gente vai trabalhar com uma matriz de variância-covariância que mostra como cada par de variáveis se comporta. Nosso objetivo aqui é descobrir quais dessas variáveis não estão correlacionadas, ou seja, não têm relação entre si. Para isso, vamos precisar entender o que é covariância e como analisar a matriz que nos foi dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é covariância. A covariância entre duas variáveis, digamos $ X_i $ e $ X_j $, nos mostra se elas tendem a aumentar juntas (covariância positiva), se uma aumenta enquanto a outra diminui (covariância negativa) ou se não têm relação (covariância zero). Quando a covariância é zero, dizemos que as variáveis são não-correlacionadas.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a matriz de variância-covariância que foi fornecida:
Sigma=(cccc 16 & -3 & 2 & 1 -3 & 25 & 2 & 0 2 & 2 & 100 & 2 1 & 0 & 2 & 400 )
Essa matriz é simétrica, o que significa que a covariância entre $ X_i $ e $ X_j $ é a mesma que entre $ X_j $ e $ X_i $. Os elementos na diagonal principal (16, 25, 100, 400) representam as variâncias das próprias variáveis, mas o que nos interessa são os elementos fora da diagonal, que mostram as covariâncias entre pares de variáveis.

Passo 4

Vamos identificar cada par de variáveis e verificar a covariância entre elas:
  • $ \operatorname{COV}(X_1, X_2) = -3 $: Não é zero, então $ X_1 $ e $ X_2 $ estão correlacionadas.
  • $ \operatorname{COV}(X_1, X_3) = 2 $: Não é zero, então $ X_1 $ e $ X_3 $ estão correlacionadas.
  • $ \operatorname{COV}(X_1, X_4) = 1 $: Não é zero, então $ X_1 $ e $ X_4 $ estão correlacionadas.
  • $ \operatorname{COV}(X_2, X_3) = 2 $: Não é zero, então $ X_2 $ e $ X_3 $ estão correlacionadas.
  • $ \operatorname{COV}(X_2, X_4) = 0 $: Igual a zero, então $ X_2 $ e $ X_4 $ NÃO estão correlacionadas.
  • $ \operatorname{COV}(X_3, X_4) = 2 $: Não é zero, então $ X_3 $ e $ X_4 $ estão correlacionadas.

Passo 5

Finalmente, vamos resumir o que encontramos. A única covariância que é zero é entre $ X_2 $ e $ X_4 $. Isso significa que essas duas variáveis não estão correlacionadas.

Resposta

As variáveis $ X_{2} $ e $ X_{4} $ são não-correlacionadas.

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