Sejam . variáveis aleatórias. Muitas vezes, é interessante realizar um estudo destas variáveis conjuntamente e não apenas de cada variável individualmente. Nestas situações, é comum utilizar-se o conceito de covariância para verificar o tipo de associação entre os pares de variáveis. Para isso, costuma-se definir a matriz de variância-covariância da variável aleatória dimensional da seguinte forma
Note que Sigma é uma matriz simétrica de ordem n times n. Para n=4, considere a matriz de variância-covariância
Determine: (a) Quais variáveis são não-correlacionadas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre variáveis aleatórias e como elas se relacionam umas com as outras usando algo chamado covariância. A gente vai trabalhar com uma matriz de variância-covariância que mostra como cada par de variáveis se comporta. Nosso objetivo aqui é descobrir quais dessas variáveis não estão correlacionadas, ou seja, não têm relação entre si. Para isso, vamos precisar entender o que é covariância e como analisar a matriz que nos foi dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é covariância. A covariância entre duas variáveis, digamos $ X_i $ e $ X_j $, nos mostra se elas tendem a aumentar juntas (covariância positiva), se uma aumenta enquanto a outra diminui (covariância negativa) ou se não têm relação (covariância zero). Quando a covariância é zero, dizemos que as variáveis são não-correlacionadas.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a matriz de variância-covariância que foi fornecida:
Essa matriz é simétrica, o que significa que a covariância entre $ X_i $ e $ X_j $ é a mesma que entre $ X_j $ e $ X_i $. Os elementos na diagonal principal (16, 25, 100, 400) representam as variâncias das próprias variáveis, mas o que nos interessa são os elementos fora da diagonal, que mostram as covariâncias entre pares de variáveis.
Passo 4
Vamos identificar cada par de variáveis e verificar a covariância entre elas:
$ \operatorname{COV}(X_1, X_2) = -3 $: Não é zero, então $ X_1 $ e $ X_2 $ estão correlacionadas.
$ \operatorname{COV}(X_1, X_3) = 2 $: Não é zero, então $ X_1 $ e $ X_3 $ estão correlacionadas.
$ \operatorname{COV}(X_1, X_4) = 1 $: Não é zero, então $ X_1 $ e $ X_4 $ estão correlacionadas.
$ \operatorname{COV}(X_2, X_3) = 2 $: Não é zero, então $ X_2 $ e $ X_3 $ estão correlacionadas.
$ \operatorname{COV}(X_2, X_4) = 0 $: Igual a zero, então $ X_2 $ e $ X_4 $ NÃO estão correlacionadas.
$ \operatorname{COV}(X_3, X_4) = 2 $: Não é zero, então $ X_3 $ e $ X_4 $ estão correlacionadas.
Passo 5
Finalmente, vamos resumir o que encontramos. A única covariância que é zero é entre $ X_2 $ e $ X_4 $. Isso significa que essas duas variáveis não estão correlacionadas.
Resposta
As variáveis $ X_{2} $ e $ X_{4} $ são não-correlacionadas.