Suponha que desejamos avaliar o impacto dos recursos do programa bolsa família sobre educação dos filhos de famílias beneficiárias pelo programa usando o seguinte modelo de regressão simples:
y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1} P B F_{i}+u_{i}
Em que, y é a medida de desempenho de educação dos filhos e P B F o montante, em reais, que a família recebe do Programa Bolsa Família. Considerando que utilizamos uma amostra aleatória de famílias, respondo os itens:
a) Descreva as hipóteses necessárias para a inexistência de viés do estimador por MQO
b) Qual a interpretação dos parâmetros \beta_{0} e \beta_{1} ?
c) O estimador \hat{\beta}_{1} é viesado para \beta_{1} ? Justifique explicando se as hipóteses respondidas no item a são satisfeitas ou não?
Passo 1
O enunciado e o que ele pede (peguei tudo do enunciado):
y_{i} é a medida de desempenho educacional dos filhos da família i.
PBF_{i} é o montante (em reais) que a família i recebe do Programa Bolsa Família.
Usamos uma amostra aleatória de famílias.
As perguntas:
a) Descrever as hipóteses necessárias para a inexistência de viés do estimador por MQO (isto é, condições que garantem \hat\beta_1 não viesado).
b) Interpretar \beta_{0} e \beta_{1}.
c) Dizer se \hat\beta_1 é viesado para \beta_1 no contexto dado e justificar avaliando se as hipóteses do item (a) são satisfeitas.
Passo 2
Quais são, formalmente, as hipóteses essenciais que garantem ausência de viés do estimador por MQO em regressão simples.
Vou listar as hipóteses importantes e explicar por que cada uma importa (sem pular etapas):
Amostragem aleatória (i.i.d.): as observações (y_i, PBF_i) são uma amostra aleatória.
Significado prático: os pares observados são representativos e independentes entre si.
Por que importa: permite aplicar expectativas simples e garante que soma de termos aleatórios se comporte bem ao tomar esperanças.
Modelo linear em parâmetros: o modelo verdadeiro tem forma \,y_i=\beta_0+\beta_1 PBF_i + u_i.
Significado: os parâmetros entram linearmente; o termo de erro u_i capta tudo que falta.
Por que importa: o MQO usa essa forma para construir \hat\beta_1; se a relação for fortemente não linear e isso não for modelado, estimador pode ser enganoso.
Sem colinearidade perfeita: há variação em PBF_i (ou seja, \sum (PBF_i-\overline{PBF})^2>0).
Significado prático: o regressor não é constante na amostra.
Por que importa: se não houver variação, não dá para estimar uma inclinação.
Esperança condicional zero (hipótese-chave para ausência de viés):
\mathbb{E}[u_i \mid PBF_i]=0\quad\text{para todo }i.
O que isso diz em palavras: uma vez que conhecemos quanto a família recebe do PBF, a parte não explicada u_i tem média zero; isto é, não há correlação sistemática entre PBF_i e fatores omitidos que afetam y_i.
Por que é crucial: é a condição que garante que, condicional em PBF, o termo de erro não “empurra” a estimativa para um lado; é o núcleo do que chamamos de exogeneidade do regressor.
Momentos finitos (por exemplo, variâncias finitas): \operatorname{Var}(u_i)<\infty e \operatorname{Var}(PBF_i)<\infty.
Significado: evita comportamentos extremos que quebrariam as expectativas usadas nas provas.
Resumo rápido: para não haver viés precisamos, além de um modelo linear e variação em PBF, da condição fundamental \mathbb{E}[u_i\mid PBF_i]=0 (e amostragem aleatória / momentos finitos para formalidade).
Passo 3
Demonstração passo a passo — por que \mathbb{E}[u_i\mid PBF_i]=0 garante ausência de viés de \hat\beta_1 (mostrando a conta do MQO simples).
Se \mathbb{E}[u_i\mid PBF_i]=0 para todo i, o segundo termo some e obtemos
\mathbb{E}[\hat\beta_1\mid PBF]=\beta_1.
Integrando sobre a distribuição de PBF dá \mathbb{E}[\hat\beta_1]=\beta_1. Ou seja, \hat\beta_1 é não viesado.
Comentário didático: a conta acima mostra que qualquer correlação entre PBF_i e u_i (isto é, \mathbb{E}[u_i\mid PBF_i]\neq 0) introduz um termo adicional que desloca a média de \hat\beta_1 — isso é exatamente o viés.
Passo 4
Interpretação didática de \beta_0 e \beta_1 (item b), com linguagem simples e exemplos:
\beta_0 (intercepto): é o valor esperado de y_i quando PBF_i=0. Em palavras: a média do desempenho educacional das crianças de famílias que recebem zero reais do PBF (ou, se isso for fora do suporte dos dados, é a extrapolação da reta até PBF=0).
Exemplo concreto: se \beta_0=5 (na escala da medida de desempenho), isso diz que, para uma família que não recebe bolsa, o valor esperado de y é 5.
\beta_1 (coeficiente do PBF): é a variação esperada em y_i associada a um aumento unitário em PBF_i (aumentando o montante recebido em um real), mantendo tudo mais implícito no erro u_i. Em termos práticos: é o efeito marginal do dinheiro do programa sobre o desempenho educacional.
Exemplo numérico: se \beta_1=0{,}002, então um acréscimo de 100 reais de PBF está associado (em média) a um aumento de 0{,}002\times 100=0{,}2 unidades na medida de desempenho.
Aviso intuitivo: essa interpretação causal ("o PBF causa essa mudança em y") só é válida se o regressor for exógeno, i.e., se a hipótese \mathbb{E}[u_i\mid PBF_i]=0 for plausível. Se não for, \beta_1 é apenas uma associação.
Passo 5
Avaliação prática para o contexto do Bolsa Família: as hipóteses do item (a) são satisfeitas? (isso responde item c)
Amostragem aleatória: o enunciado diz que usamos uma amostra aleatória de famílias — assumindo que isso é verdade, essa hipótese pode ser considerada satisfeita. Mas atenção: amostragem aleatória da população em geral é diferente de amostra apenas de beneficiários; o enunciado falou “famílias beneficiárias pelo programa”? Se a amostra for só de beneficiárias, alguns problemas surgem (ver abaixo). Aqui vou considerar a informação dada: “amostra aleatória de famílias” (hipótese plausível).
Colinearidade e variabilidade em PBF: normalmente existe variação no montante recebido entre famílias, então essa hipótese costuma ser satisfeita.
A grande questão: \mathbb{E}[u_i\mid PBF_i]=0. Na prática, isso é improvável no caso do Bolsa Família. Por quê? Principais razões de violação:
O programa é direcionado: famílias mais pobres recebem mais (ou têm maior probabilidade de receber). A pobreza e outras características socioeconômicas (por exemplo, nível de escolaridade dos pais, condições de moradia, acesso a escolas de qualidade) afetam diretamente o desempenho educacional e muitas vezes não são totalmente observadas e colocadas em PBF ou y. Assim, fatores omitidos que reduzem y tendem a estar correlacionados com PBF. Isso quebra \mathbb{E}[u_i\mid PBF_i]=0.
Omissão de variáveis importantes: por exemplo, escolaridade dos pais, capital humano, saúde infantil, distância à escola, qualidade da escola — se esses estão em u_i e correlacionados com PBF_i, há viés por variável omitida.
Possível causalidade reversa ou seleção: se parte do valor do benefício depende de características relacionadas ao desempenho (ex.: famílias com filhos com necessidades especiais podem receber complementos), pode haver simultaneidade.
Erro de mensuração do PBF (se o montante registrado não for o real recebido), dependendo do tipo de erro pode também causar viés.
Conclusão prática: a hipótese-chave \mathbb{E}[u_i\mid PBF_i]=0 provavelmente NÃO é satisfeita neste contexto. Logo, o estimador \hat\beta_1 por MQO é provavelmente viesado.
Passo 6
Qual é a direção do viés (intuição e fórmula) — isto ajuda a saber se o MQO tende a subestimar ou superestimar o efeito real:
A expressão geral para o valor esperado (desviante) que obtivemos é
Assim o viés é \dfrac{\operatorname{Cov}(PBF_i,u_i)}{\operatorname{Var}(PBF_i)}. O sinal do viés segue o sinal da covariância entre PBF e u.
No contexto do Bolsa Família é razoável supor que famílias que recebem mais PBF são, em média, mais pobres e têm desvantagens não observadas que reduzem o desempenho educacional (essas desvantagens entram em u_i e tendem a ser negativas). Então quando PBF é maior, u_i tende a ser mais negativo — isso implica \operatorname{Cov}(PBF_i,u_i)<0.
Consequência: o viés é negativo, ou seja \mathbb{E}[\hat\beta_1]<\beta_1. Em palavras: o MQO vai subestimar (tender a encontrar um efeito menor, possivelmente até zero ou negativo) o verdadeiro efeito causal positivo do benefício sobre educação, se esse efeito positivo existir.
Exemplo intuitivo: suponha que o verdadeiro efeito causal \beta_1 seja positivo (o programa melhora desempenho). Mas como as famílias mais pobres (pior u) recebem mais benefício, a comparação simples mistura efeito do PBF com o efeito da pobreza não observada — o resultado observado diminui a estimativa do efeito real do programa.
Passo 7
Resumo prático e caminhos para corrigir (curta orientação para a prova / aplicação):
Diagnóstico: seja crítico sobre a hipótese \mathbb{E}[u_i\mid PBF_i]=0. No caso do Bolsa Família, é a hipótese mais fraca de acreditar sem controles adicionais.
Correções comuns que você poderia propor ou ver em uma prova: incluir controles observáveis que capturem pobreza e características familiares; usar variáveis instrumentais válidas (IV) que afetem PBF mas não afetem y exceto via PBF; usar desenho com corte de elegibilidade (regressão descontínua se existir limite de renda); ou usar diferenças em diferenças se houver variação no tempo e grupos. Não é necessário aqui implementar, apenas saber que o MQO simples está sujeito a viés por variável omitida.
Resposta
(a) As hipóteses essenciais para ausência de viés do MQO são: (1) amostragem aleatória; (2) modelo linear em parâmetros; (3) variação em PBF (sem colinearidade perfeita); (4) esperança condicional zero \mathbb{E}[u_i\mid PBF_i]=0 (exogeneidade do regressor); (5) momentos finitos (variâncias finitas). A hipótese (4) é a mais crítica para não haver viés.
(b) \beta_0 é o valor esperado de y quando PBF=0 (intercepto). \beta_1 é o efeito marginal: variação esperada em y associada a um aumento de uma unidade em PBF (efeito por real recebido). A interpretação causal de \beta_1 exige exogeneidade (\mathbb{E}[u_i\mid PBF_i]=0).
(c) Não: em geral \hat\beta_1 será viesado neste contexto, porque é muito provável que \mathbb{E}[u_i\mid PBF_i]\neq0 (o PBF é direcionado a famílias mais pobres/desfavorecidas e fatores omitidos relacionados à pobreza afetam y). A direção do viés típica é negativa se as desvantagens não observadas (que reduzem y) estiverem correlacionadas positivamente com o montante PBF, isto é, \operatorname{Cov}(PBF_i,u_i)<0, levando a \mathbb{E}[\hat\beta_1]=\beta_1+\dfrac{\operatorname{Cov}(PBF,u)}{\operatorname{Var}(PBF)}<\beta_1.