Os seguintes resultados foram obtidos com base em uma amostra de 10 observações:
\begin{gathered} \sum Y_{i}=1110, \sum X_{i}=1700, \sum X_{i} Y_{i}=205500 \\\ \sum X_{i}^{2}=322000 e \sum Y_{i}^{2}=132100 \end{gathered}
com coeficiente de correlação r=0,9758. Mas, ao conferir esses dados, verificou-se que dois pares de observações tinham sido registrados como:
Y X Y X
90 120 em vez de 80 110
140 220 150 210
Qual será o efeito desse erro sobre r ? Calcule o r correto.

Passo 1

O enunciado dá os somatórios calculados (com os dados registrados errados) para uma amostra de n=10:
\sum Y_{i}=1110,\quad \sum X_{i}=1700,\quad \sum X_{i}Y_{i}=205500,
\sum X_{i}^{2}=322000,\quad \sum Y_{i}^{2}=132100,
e o coeficiente de correlação calculado com esses valores é r=0,9758.
Foi detectado que dois pares foram registrados incorretamente (foram registrados como a esquerda, quando deveriam ser os da direita):
(90,120)\\ \text{em vez de}\\ (80,110), \qquad (140,220)\\ \text{em vez de}\\ (150,210).
O que o exercício pede:
  • determinar o efeito desse erro sobre r (isto é, como r muda);
  • calcular o valor correto de r após corrigir os dois pares.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula do coeficiente de correlação de Pearson e o que cada termo significa. Para uma amostra de tamanho n,
r=\frac{n\sum X_{i}Y_{i} - \left(\sum X_{i}\right)\left(\sum Y_{i}\right)} {\sqrt{\bigl(n\sum X_{i}^{2} - (\sum X_{i})^{2}\bigr)\,\bigl(n\sum Y_{i}^{2} - (\sum Y_{i})^{2}\bigr)}}.
Explicando cada peça:
  • n é o número de observações;
  • \sum X_{i} e \sum Y_{i} são as somas das observações de X e Y;
  • \sum X_{i}Y_{i} é a soma dos produtos par a par;
  • \sum X_{i}^{2} e \sum Y_{i}^{2} são as somas dos quadrados;
  • O numerador mede a covariância (em escala) entre X e Y;
  • O denominador normaliza pelo produto das dispersões de X e Y, dando um número entre -1 e 1.
Para corrigir r basta corrigir os somatórios que aparecem na fórmula: subtrair as contribuições dos pares registrados incorretamente e somar as contribuições dos pares corretos.

Passo 3

Calcular as correções (delta) para cada um dos dois pares. Denotando pelo índice 1 o primeiro par e 2 o segundo:
Para o par 1: registrado (Y_{r1},X_{r1})=(90,120), correto (Y_{c1},X_{c1})=(80,110).
\Delta Y_{1}=Y_{c1}-Y_{r1}=80-90=-10, \qquad \Delta X_{1}=X_{c1}-X_{r1}=110-120=-10.
\Delta (XY)_{1}=110\cdot80 - 120\cdot90 = 8800-10800=-2000.
\Delta (X^{2})_{1}=110^{2}-120^{2}=12100-14400=-2300, \qquad \Delta (Y^{2})_{1}=80^{2}-90^{2}=6400-8100=-1700.
Para o par 2: registrado (Y_{r2},X_{r2})=(140,220), correto (Y_{c2},X_{c2})=(150,210).
\Delta Y_{2}=150-140=+10, \qquad \Delta X_{2}=210-220=-10.
\Delta (XY)_{2}=150\cdot210 - 140\cdot220 = 31500-30800=700.
\Delta (X^{2})_{2}=210^{2}-220^{2}=44100-48400=-4300, \qquad \Delta (Y^{2})_{2}=150^{2}-140^{2}=22500-19600=2900.

Passo 4

Somar as correções dos dois pares para obter as mudanças totais nos somatórios:
\Delta Y=\Delta Y_{1}+\Delta Y_{2}=-10+10=0,
\Delta X=\Delta X_{1}+\Delta X_{2}=-10-10=-20,
\Delta (XY)= -2000 + 700 = -1300,
\Delta (X^{2}) = -2300 -4300 = -6600,
\Delta (Y^{2}) = -1700 +2900 = +1200.
Aplicando essas correções aos somatórios originais (que eram os obtidos com os valores registrados errados):
\sum Y_{i}^{(\text{corr})}=1110 + \Delta Y = 1110 + 0 = 1110,
\sum X_{i}^{(\text{corr})}=1700 + \Delta X = 1700 - 20 = 1680,
\sum X_{i}Y_{i}^{(\text{corr})}=205500 + \Delta (XY) = 205500 - 1300 = 204200,
\sum X_{i}^{2\,(\text{corr})}=322000 + \Delta (X^{2}) = 322000 - 6600 = 315400,
\sum Y_{i}^{2\,(\text{corr})}=132100 + \Delta (Y^{2}) = 132100 + 1200 = 133300.

Passo 5

Calcular r com os somatórios corrigidos. Usando n=10, e definindo para simplificar:
S_{x}=\sum X_{i}^{(\text{corr})}=1680,\qquad S_{y}=\sum Y_{i}^{(\text{corr})}=1110,
S_{xy}=\sum X_{i}Y_{i}^{(\text{corr})}=204200, \qquad S_{x^{2}}=\sum X_{i}^{2\,(\text{corr})}=315400, \qquad S_{y^{2}}=\sum Y_{i}^{2\,(\text{corr})}=133300.
Numerador:
\text{Num}=n S_{xy} - S_{x}S_{y} = 10\cdot204200 - 1680\cdot1110.
Calculemos:
10\cdot204200=2\,042\,000, \qquad 1680\cdot1110=1\,864\,800,
\text{Num}=2\,042\,000-1\,864\,800=177\,200.
Denominador: calcule as duas parcelas internas
A = n S_{x^{2}} - (S_{x})^{2} = 10\cdot315400 - 1680^{2}.
10\cdot315400=3\,154\,000,\qquad 1680^{2}=2\,822\,400,
A=3\,154\,000-2\,822\,400=331\,600.
B = n S_{y^{2}} - (S_{y})^{2} = 10\cdot133300 - 1110^{2}.
10\cdot133300=1\,333\,000,\qquad 1110^{2}=1\,232\,100,
B=1\,333\,000-1\,232\,100=100\,900.
Então o denominador é
\text{Den}=\sqrt{A\cdot B}=\sqrt{331\,600\cdot100\,900}\approx182\,916{,}48.

Passo 6

Finalmente,
r_{\text{corr}}=\frac{\text{Num}}{\text{Den}}=\frac{177\,200}{182\,916{,}48}\approx0{,}9688.
Comparando com o valor calculado com os dados errados, r_{\text{orig}}=0{,}9758, observa-se que o erro fez com que o coeficiente de correlação diminuísse. A diferença é aproximadamente
0{,}9758-0{,}9688 \approx 0{,}0070.

Resposta

O erro faz com que r diminua (queda de aproximadamente 0,0070).
r_{\text{corr}} \approx 0,9688

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