Os seguintes resultados foram obtidos com base em uma amostra de 10 observações:
com coeficiente de correlação
. Mas, ao conferir esses dados, verificou-se que dois pares de observações tinham sido registrados como:
Y
X
Y
X
90
120
em vez de
80
110
140
220
150
210
Qual será o efeito desse erro sobre
? Calcule o
correto.
| Y | X | Y | X | |
| 90 | 120 | em vez de | 80 | 110 |
| 140 | 220 | 150 | 210 | |
Passo 1
O enunciado dá os somatórios calculados (com os dados registrados errados) para uma amostra de
:
e o coeficiente de correlação calculado com esses valores é
.
Foi detectado que dois pares foram registrados incorretamente (foram registrados como a esquerda, quando deveriam ser os da direita):
O que o exercício pede:
- determinar o efeito desse erro sobre
(isto é, como muda); - calcular o valor correto de
após corrigir os dois pares.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula do coeficiente de correlação de Pearson e o que cada termo significa. Para uma amostra de tamanho
,
Explicando cada peça:
-
é o número de observações; -
e são as somas das observações de e ; -
é a soma dos produtos par a par; -
e são as somas dos quadrados; - O numerador mede a covariância (em escala) entre
e ; - O denominador normaliza pelo produto das dispersões de
e , dando um número entre e .
Para corrigir
basta corrigir os somatórios que aparecem na fórmula: subtrair as contribuições dos pares registrados incorretamente e somar as contribuições dos pares corretos.
Passo 3
Calcular as correções (delta) para cada um dos dois pares. Denotando pelo índice 1 o primeiro par e 2 o segundo:
Para o par 1: registrado
, correto
.
Para o par 2: registrado
, correto
.
Passo 4
Somar as correções dos dois pares para obter as mudanças totais nos somatórios:
Aplicando essas correções aos somatórios originais (que eram os obtidos com os valores registrados errados):
Passo 5
Calcular
com os somatórios corrigidos. Usando
, e definindo para simplificar:
Numerador:
Calculemos:
Denominador: calcule as duas parcelas internas
Então o denominador é
Passo 6
Finalmente,
Comparando com o valor calculado com os dados errados,
, observa-se que o erro fez com que o coeficiente de correlação diminuísse. A diferença é aproximadamente
Resposta
O erro faz com que
diminua (queda de aproximadamente
).