Suponha que duas grandezas A e B tenham dimensões diferentes. Determine quais das seguintes operações aritméticas poderiam ter significado físico: (a) A+B, (b) A / B, (c) B-A, (d) A B.

Passo 1

O enunciado diz que duas grandezas A e B têm dimensões diferentes. Precisamos dizer, para cada uma das quatro operações abaixo, se ela poderia ter significado físico:
(a) \,A+B\,
(b) \,A/B\,
(c) \,B-A\,
(d) \,A B
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\;1.\; As dimensões de A e B são diferentes (ou seja, [A]\neq[B]).
\;2.\; Queremos saber se cada operação pode representar uma quantidade fisicamente aceitável (ter “significado físico”).

Passo 2

O que significa “significado físico”? Vou te explicar com calma. Em física trabalhamos com dimensões (comprimento, tempo, massa, etc.). Escrevemos a dimensão de uma grandeza X como [X]. Exemplos simples:
[\text{comprimento}] = L,\quad [\text{tempo}] = T,\quad [\text{massa}] = M.
Regra básica (fundamental): só se pode somar ou subtrair grandezas que tenham a mesma dimensão. Ou seja, uma soma como \,X+Y\, exige [X]=[Y]. Por quê? Porque unidades diferentes correspondem a espécies físicas distintas: somar metros com segundos não faria sentido (igual que somar laranjas com metros).
Vou ilustrar com um exemplo concreto e bem bobo: a expressão
3\\ \text{m} + 2\\ \text{s}
é absurda fisicamente — não dá para somar “3 metros” com “2 segundos”. Em notação de dimensão, [3\\ \text{m}] = L e [2\\ \text{s}] = T, e L\neq T, logo a soma é inválida.

Passo 3

Aplicando isso a (a) \,A+B\,: como o enunciado diz que [A]\neq[B], a soma \,A+B\, viola a regra de soma. Portanto \,A+B\, não tem significado físico.
Explicação passo a passo:
\text{Para }A+B\text{ ser válida é necessário }[A]=[B].áéá
Como dado [A]\neq[B], concluímos que \,A+B\, é inválida (sem sentido físico).

Passo 4

Aplicando isso a (c) \,B-A\,: subtração segue a mesma regra da adição. Para \,B-A\, ser válida precisaríamos de [B]=[A]. Mas temos [B]\neq[A]. Logo \,B-A\, também não tem significado físico.

Passo 5

Agora vamos cuidar de multiplicação e divisão. Essas operações não exigem que as dimensões sejam iguais; elas produzem novas dimensões combinadas. Formalmente:
[AB]=[A]\,[B]\quad\text{(produto)},
\left[\frac{A}{B}\right]=\frac{[A]}{[B]}\quad\text{(quociente)}.
Isto é, multiplicar ou dividir grandezas gera outra grandeza cuja dimensão é o produto ou a razão das dimensões originais. Não há necessidade de igualdade entre [A] e [B].

Passo 6

Exemplos para fixar (bem prático, do jeitinho que você vai lembrar na prova):
  • Multiplicação: se F é força com [F]=M L T^{-2} e d é deslocamento com [d]=L, então o produto F\cdot d tem dimensão
[Fd]=(M L T^{-2})\cdot(L)=M L^{2} T^{-2},
que é a dimensão de energia/trabalho. Ou seja, faz total sentido físico.
  • Divisão: se s é distância ( [s]=L) e t é tempo ( [t]=T), então
\left[\frac{s}{t}\right]=\frac{L}{T}=L T^{-1},
que é a dimensão de velocidade. Também faz sentido físico.

Passo 7

Aplicando isso a (b) \,A/B\,: como divisão é permitida entre dimensões diferentes (o resultado tem dimensão [A]/[B]), \,A/B\, pode ter significado físico. Observação: o quociente pode ou não ser adimensional — aqui, com [A]\neq[B], o quociente terá dimensão não nula, mas ainda é perfeitamente uma grandeza física válida.
Aplicando isso a (d) \,A B\,: a multiplicação também é permitida; o resultado terá dimensão [A][B] e pode representar uma grandeza física bem definida (por exemplo, pressão × volume = energia em certas combinações). Portanto \,A B\, pode ter significado físico.

Passo 8

Resumo lógico (para gravar na cabeça antes da prova):
  • Soma/Subtração: exigem mesma dimensão. Se [A]\neq[B], não valem.
  • Multiplicação/Divisão: sempre válidas do ponto de vista dimensional — produzem nova dimensão [A][B] ou [A]/[B].

Resposta

(a) \,A+B\,: não\n(b) \,A/B\,: sim\n(c) \,B-A\,: não\n(d) \,A B\,: sim

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