Suponha que duas grandezas
e
tenham dimensões diferentes. Determine quais das seguintes operações aritméticas poderiam ter significado físico: (a)
, (b)
, (c)
, (d)
.
Passo 1
O enunciado diz que duas grandezas
e
têm dimensões diferentes. Precisamos dizer, para cada uma das quatro operações abaixo, se ela poderia ter significado físico:
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
As dimensões de
e
são diferentes (ou seja,
).
Queremos saber se cada operação pode representar uma quantidade fisicamente aceitável (ter “significado físico”).
Passo 2
O que significa “significado físico”? Vou te explicar com calma. Em física trabalhamos com dimensões (comprimento, tempo, massa, etc.). Escrevemos a dimensão de uma grandeza
como
. Exemplos simples:
Regra básica (fundamental): só se pode somar ou subtrair grandezas que tenham a mesma dimensão. Ou seja, uma soma como
exige
. Por quê? Porque unidades diferentes correspondem a espécies físicas distintas: somar metros com segundos não faria sentido (igual que somar laranjas com metros).
Vou ilustrar com um exemplo concreto e bem bobo: a expressão
é absurda fisicamente — não dá para somar “3 metros” com “2 segundos”. Em notação de dimensão,
e
, e
, logo a soma é inválida.
Passo 3
Aplicando isso a (a)
: como o enunciado diz que
, a soma
viola a regra de soma. Portanto
não tem significado físico.
Explicação passo a passo:
Explicação passo a passo:
Como dado
, concluímos que
é inválida (sem sentido físico).
Passo 4
Aplicando isso a (c)
: subtração segue a mesma regra da adição. Para
ser válida precisaríamos de
. Mas temos
. Logo
também não tem significado físico.
Passo 5
Agora vamos cuidar de multiplicação e divisão. Essas operações não exigem que as dimensões sejam iguais; elas produzem novas dimensões combinadas. Formalmente:
Isto é, multiplicar ou dividir grandezas gera outra grandeza cuja dimensão é o produto ou a razão das dimensões originais. Não há necessidade de igualdade entre
e
.
Passo 6
Exemplos para fixar (bem prático, do jeitinho que você vai lembrar na prova):
- Multiplicação: se
é força com e é deslocamento com , então o produto tem dimensão
que é a dimensão de energia/trabalho. Ou seja, faz total sentido físico.
- Divisão: se
é distância ( ) e é tempo ( ), então
que é a dimensão de velocidade. Também faz sentido físico.
Passo 7
Aplicando isso a (b)
: como divisão é permitida entre dimensões diferentes (o resultado tem dimensão
),
pode ter significado físico. Observação: o quociente pode ou não ser adimensional — aqui, com
, o quociente terá dimensão não nula, mas ainda é perfeitamente uma grandeza física válida.
Aplicando isso a (d)
: a multiplicação também é permitida; o resultado terá dimensão
e pode representar uma grandeza física bem definida (por exemplo, pressão × volume = energia em certas combinações). Portanto
pode ter significado físico.
Passo 8
Resumo lógico (para gravar na cabeça antes da prova):
- Soma/Subtração: exigem mesma dimensão. Se
, não valem. - Multiplicação/Divisão: sempre válidas do ponto de vista dimensional — produzem nova dimensão
ou .
Resposta
(a)
: não\n(b)
: sim\n(c)
: não\n(d)
: sim