Suponha que as extremidades de uma barra de metal com 10 cm de comprimento são mantidas a 0 graus. Suponha que o ponto da barra que corresponde ao seu ponto médio é aquecido a 100 graus por uma fonte externa de calor e que esta situação é mantida até que se atinja o estado estacionário.
2) Faça o gráfico desta distribuição de temperatura.
2) Faça o gráfico desta distribuição de temperatura.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o gráfico da distribuição de temperatura no estado estacionário:
- Comprimento da barra:
. - Extremidades mantidas a
: e . - O ponto médio da barra (em
) é mantido a : . - Pede-se: desenhar o gráfico da distribuição de temperatura quando o sistema atingir o estado estacionário.
Passo 2
Interpretação física e modelo matemático (passo-a-passo, sem pular etapas).
- Em regime estacionário, a temperatura ao longo de uma barra unidimensional satisfaz a equação do calor estacionária. Na ausência de geração de calor distribuída ao longo do trecho interior (a fonte atua apenas fixando a temperatura no ponto
), a equação diferencial é
em cada intervalo onde não há condição singular.
- A equação
significa que a derivada segunda é zero, logo a solução geral é uma função linear em cada intervalo. Portanto devemos procurar soluções lineares em e em , porque o ponto impõe uma condição interna . - Teremos, portanto, soluções do tipo
em cada subintervalo, com constantes determinadas pelas condições , e . A temperatura é contínua (tem que igualar em ), mas a derivada pode ter descontinuidade aí (isso representa o efeito da fonte localizada).
Passo 3
Resolver em
.
- Seja, para
,
- Aplicar
:
- Aplicar
:
- Logo, em
,
(Interpretação prática: a temperatura sobe linearmente com inclinação
graus por centímetro até o meio.)
Passo 4
Resolver em
.
- Seja, para
,
- Aplicar
:
- Aplicar
:
- Substituir
:
- Então
. Portanto, em ,
- Alternativa mais simples: escrever
para . Verifique que em isso dá e em dá .
Passo 5
Concluir a forma completa e descrever o gráfico (como desenhar).
- A função temperatura é a seguinte, em toda a barra:
- Como desenhar o gráfico:
- Eixo horizontal:
em centímetros de a . - Eixo vertical:
em graus de a . - Pontos chave:
, , . - Traçar uma reta ligando
a (inclinação ) e outra reta ligando a (inclinação ). O gráfico é um “V” simétrico, com máximo no meio .
- Eixo horizontal:
- Exemplos de valores para auxiliar o desenho:
, , , ; depois decresce simetricamente.]
Passo 6
Comentário físico curto (para fixar a intuição).
- Em regime estacionário, sem geração distribuída, a temperatura varia linearmente entre pontos mantidos a temperaturas fixas. Fixar o ponto médio a
cria duas regionais lineares simétricas. A descontinuidade na derivada em corresponde à presença da fonte localizada que fornece calor para manter ali.