Suponha que as extremidades de uma barra de metal com 10 cm de comprimento são mantidas a 0 graus. Suponha que o ponto da barra que corresponde ao seu ponto médio é aquecido a 100 graus por uma fonte externa de calor e que esta situação é mantida até que se atinja o estado estacionário.
2) Faça o gráfico desta distribuição de temperatura.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o gráfico da distribuição de temperatura no estado estacionário:
  • Comprimento da barra: 10\\ \text{cm}.
  • Extremidades mantidas a 0^\circ: u(0)=0 e u(10)=0.
  • O ponto médio da barra (em x=5\\ \text{cm}) é mantido a 100^\circ: u(5)=100.
  • Pede-se: desenhar o gráfico da distribuição de temperatura quando o sistema atingir o estado estacionário.

Passo 2

Interpretação física e modelo matemático (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Em regime estacionário, a temperatura ao longo de uma barra unidimensional satisfaz a equação do calor estacionária. Na ausência de geração de calor distribuída ao longo do trecho interior (a fonte atua apenas fixando a temperatura no ponto x=5), a equação diferencial é
u''(x)=0
em cada intervalo onde não há condição singular.
  • A equação u''(x)=0 significa que a derivada segunda é zero, logo a solução geral é uma função linear em cada intervalo. Portanto devemos procurar soluções lineares em [0,5] e em [5,10], porque o ponto x=5 impõe uma condição interna u(5)=100.
  • Teremos, portanto, soluções do tipo u(x)=ax+b em cada subintervalo, com constantes determinadas pelas condições u(0)=0, u(5)=100 e u(10)=0. A temperatura é contínua (tem que igualar 100 em x=5), mas a derivada pode ter descontinuidade aí (isso representa o efeito da fonte localizada).

Passo 3

Resolver em [0,5].
  • Seja, para 0\le x\le5,
u(x)=a_1 x + b_1.
  • Aplicar u(0)=0:
u(0)=a_1\cdot 0 + b_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad b_1=0.
  • Aplicar u(5)=100:
u(5)=a_1\cdot 5 + 0 = 100 \quad\Rightarrow\quad a_1 = \frac{100}{5}=20.
  • Logo, em [0,5],
u(x)=20x.
(Interpretação prática: a temperatura sobe linearmente com inclinação 20 graus por centímetro até o meio.)

Passo 4

Resolver em [5,10].
  • Seja, para 5\le x\le10,
u(x)=a_2 x + b_2.
  • Aplicar u(10)=0:
a_2\cdot 10 + b_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad b_2 = -10 a_2.
  • Aplicar u(5)=100:
a_2\cdot 5 + b_2 = 100.
  • Substituir b_2:
5 a_2 + (-10 a_2) = 100 \quad\Rightarrow\quad -5 a_2 = 100 \quad\Rightarrow\quad a_2 = -20.
  • Então b_2 = -10(-20)=200. Portanto, em [5,10],
u(x) = -20x + 200.
  • Alternativa mais simples: escrever u(x)=20(10-x) para 5\le x\le10. Verifique que em x=5 isso dá 20\cdot5=100 e em x=10 0.

Passo 5

Concluir a forma completa e descrever o gráfico (como desenhar).
  • A função temperatura é a seguinte, em toda a barra:
u(x)=\begin{cases} 20x, & 0\le x\le5,\\[4pt] 20(10-x), & 5\le x\le10. \end{cases}
  • Como desenhar o gráfico:
    • Eixo horizontal: x em centímetros de 0 a 10.
    • Eixo vertical: u(x) em graus de 0 a 100.
    • Pontos chave: (0,0), (5,100), (10,0).
    • Traçar uma reta ligando (0,0) a (5,100) (inclinação +20) e outra reta ligando (5,100) a (10,0) (inclinação -20). O gráfico é um “V” simétrico, com máximo 100^\circ no meio x=5.
  • Exemplos de valores para auxiliar o desenho: u(1)=20, u(2)=40, u(3)=60, u(4)=80; depois decresce simetricamente.]

Passo 6

Comentário físico curto (para fixar a intuição).
  • Em regime estacionário, sem geração distribuída, a temperatura varia linearmente entre pontos mantidos a temperaturas fixas. Fixar o ponto médio a 100^\circ cria duas regionais lineares simétricas. A descontinuidade na derivada em x=5 corresponde à presença da fonte localizada que fornece calor para manter 100^\circ ali.

Resposta

u(x)=\begin{cases} 20x, & 0\le x\le5,\\[4pt] 20(10-x), & 5\le x\le10. \end{cases}]

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