Suponha que as extremidades de uma barra de metal com 10 cm de comprimento são mantidas a 0 graus. Suponha que o ponto da barra que corresponde ao seu ponto médio é aquecido a 100 graus por uma fonte externa de calor e que esta situação é mantida até que se atinja o estado estacionário.
- Encontre a distribuição de temperatura de estado estacionário ( as equações que descrevem esta distribuição).
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
-
Informações dadas:
- Uma barra metálica tem comprimento
. - As extremidades da barra são mantidas a
(temperatura nas bordas). - O ponto médio da barra (ou seja, o ponto em
) é mantido a por uma fonte externa. - A situação é mantida até atingir o estado estacionário (temperatura independente do tempo).
- Uma barra metálica tem comprimento
-
O que é pedido:
- Encontrar a distribuição de temperatura em estado estacionário, isto é, as equações que descrevem
ao longo da barra.
- Encontrar a distribuição de temperatura em estado estacionário, isto é, as equações que descrevem
Passo 2
Vou definir coordenadas e a função que procuramos:
- Seja
a coordenada ao longo da barra medida em centímetros, com numa extremidade e na outra. - Seja
a temperatura (em graus) no ponto de coordenada . - Domínio:
.
Passo 3
Escrever a equação física para o estado estacionário (e explicar porquê):
- Em regime estacionário, e afastando-nos de quaisquer fontes distribuídas de calor, a temperatura satisfaz a equação de condução unidimensional sem termos de geração interna:
onde . - Explicação intuitiva: em regime estacionário, a variação temporal some; se não há geração de calor espalhada ao longo da barra (a fonte aqui é somente um ponto que fixa a temperatura no meio), então não há curvatura da temperatura nas regiões sem essa fonte, logo a segunda derivada é zero — isto implica que a solução nessas regiões é uma função linear em
.
Passo 4
Como a condição de
é uma condição imposta no interior da barra, a solução será dada por duas funções lineares (uma para cada lado do ponto médio), ou seja devemos tratar o problema de forma peça-a-peça:
- Para
(lado esquerdo), escrever a solução geral de : onde são constantes a determinar. - Para
(lado direito), escrever a solução geral: onde são constantes a determinar.
Justificativa: em cada intervalo não há geração distribuída de calor (a única condição extra é o ponto que fixa a temperatura), então a equação reduz a uma reta em cada intervalo.
Passo 5
Aplicar as condições de contorno e a condição no ponto médio para determinar as constantes:
-
Condições de contorno nas extremidades:
-
. Substituindo em obtém-se -
. Substituindo em obtém-se
-
-
Condição no ponto médio (
): - A temperatura é fixada:
. Exigimos continuidade da temperatura em , logo
- A temperatura é fixada:
Passo 6
Resolver as equações para as constantes passo a passo:
- Pelo que já temos,
, então . Como , isso dá - Para o lado direito, use
. Então Como , temos - Agora calcule
:
Passo 7
Escrever a solução final e checar valores:
-
Para
: Verificação rápida:e , ok. -
Para
: Verificação rápida:e , ok. -
Observação física curta (sem usar valores de condutividade): as derivadas são
(positivo no lado esquerdo) e (negativo no lado direito), o que indica que o calor flui do ponto médio para ambas as extremidades (sentido das temperaturas decrescendo em direção às bordas).