Suponha que as extremidades de uma barra de metal com 10 cm de comprimento são mantidas a 0 graus. Suponha que o ponto da barra que corresponde ao seu ponto médio é aquecido a 100 graus por uma fonte externa de calor e que esta situação é mantida até que se atinja o estado estacionário.
  1. Encontre a distribuição de temperatura de estado estacionário ( as equações que descrevem esta distribuição).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Informações dadas:
    • Uma barra metálica tem comprimento \,10\\ \text{cm}\,.
    • As extremidades da barra são mantidas a \,0^\circ (temperatura nas bordas).
    • O ponto médio da barra (ou seja, o ponto em \,x=5\\ \text{cm}\,) é mantido a \,100^\circ por uma fonte externa.
    • A situação é mantida até atingir o estado estacionário (temperatura independente do tempo).
  • O que é pedido:
    • Encontrar a distribuição de temperatura em estado estacionário, isto é, as equações que descrevem \,T(x)\, ao longo da barra.

Passo 2

Vou definir coordenadas e a função que procuramos:
  • Seja \,x\, a coordenada ao longo da barra medida em centímetros, com \,x=0\, numa extremidade e \,x=10\, na outra.
  • Seja \,T(x)\, a temperatura (em graus) no ponto de coordenada \,x.
  • Domínio: \,0 \le x \le 10.

Passo 3

Escrever a equação física para o estado estacionário (e explicar porquê):
  • Em regime estacionário, e afastando-nos de quaisquer fontes distribuídas de calor, a temperatura satisfaz a equação de condução unidimensional sem termos de geração interna: T''(x)=0, onde \,T''(x)=\dfrac{d^{2}T}{dx^{2}}\,.
  • Explicação intuitiva: em regime estacionário, a variação temporal some; se não há geração de calor espalhada ao longo da barra (a fonte aqui é somente um ponto que fixa a temperatura no meio), então não há curvatura da temperatura nas regiões sem essa fonte, logo a segunda derivada é zero — isto implica que a solução nessas regiões é uma função linear em \,x.

Passo 4

Como a condição de \,T(5)=100^\circ é uma condição imposta no interior da barra, a solução será dada por duas funções lineares (uma para cada lado do ponto médio), ou seja devemos tratar o problema de forma peça-a-peça:
  • Para \,0 \le x \le 5 (lado esquerdo), escrever a solução geral de \,T''=0: T_1(x)=a_1 x + b_1, onde \,a_1, b_1 são constantes a determinar.
  • Para \,5 \le x \le 10 (lado direito), escrever a solução geral: T_2(x)=a_2 x + b_2, onde \,a_2, b_2 são constantes a determinar.
Justificativa: em cada intervalo não há geração distribuída de calor (a única condição extra é o ponto que fixa a temperatura), então a equação reduz a uma reta em cada intervalo.

Passo 5

Aplicar as condições de contorno e a condição no ponto médio para determinar as constantes:
  • Condições de contorno nas extremidades:
    • \,T(0)=0^\circ\Rightarrow T_1(0)=0. Substituindo em \,T_1(x)=a_1 x + b_1 obtém-se b_1=0.
    • \,T(10)=0^\circ\Rightarrow T_2(10)=0. Substituindo em \,T_2(x)=a_2 x + b_2 obtém-se a_2\cdot 10 + b_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad b_2 = -10 a_2.
  • Condição no ponto médio ( \,x=5\,):
    • A temperatura é fixada: \,T(5)=100^\circ. Exigimos continuidade da temperatura em x=5, logo T_1(5)=T_2(5)=100.

Passo 6

Resolver as equações para as constantes passo a passo:
  • Pelo que já temos, b_1=0, então \,T_1(5)=a_1\cdot 5 + 0 = 5 a_1. Como \,T_1(5)=100, isso dá 5 a_1 = 100 \quad\Rightarrow\quad a_1 = \frac{100}{5}=20.
  • Para o lado direito, use b_2=-10 a_2. Então T_2(5)=a_2\cdot 5 + b_2 = 5 a_2 + (-10 a_2) = -5 a_2.Como \,T_2(5)=100, temos -5 a_2 = 100 \quad\Rightarrow\quad a_2 = -\frac{100}{5} = -20.
  • Agora calcule b_2: b_2 = -10 a_2 = -10\cdot(-20)=200.

Passo 7

Escrever a solução final e checar valores:
  • Para \,0 \le x \le 5: T_1(x)=a_1 x + b_1 = 20 x + 0 = 20 x.
    Verificação rápida: \,T_1(0)=0 e \,T_1(5)=20\cdot5=100, ok.
  • Para \,5 \le x \le 10: T_2(x)=a_2 x + b_2 = -20 x + 200 = 20(10-x).
    Verificação rápida: \,T_2(10)=20(10-10)=0 e \,T_2(5)=20(5)=100, ok.
  • Observação física curta (sem usar valores de condutividade): as derivadas são \,T_1'(x)=20 (positivo no lado esquerdo) e \,T_2'(x)=-20 (negativo no lado direito), o que indica que o calor flui do ponto médio para ambas as extremidades (sentido das temperaturas decrescendo em direção às bordas).

Resposta

\displaystyle T(x)=\begin{cases} 20\,x, & 0 \le x \le 5,\\[6pt] 20\,(10-x), & 5 \le x \le 10. \end{cases}]

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