- Suponha que
é uma função diferenciável para todos os
e que
para todos os valores de
. Se
, qual é o maior valor possível para
?
Passo 1
O enunciado diz que
é diferenciável em todo
, que sua derivada satisfaz
para todo
e que
. O conteúdo-chave é o Teorema do Valor Médio, que relaciona diferença de valores de
com seu percentual de variação.
Passo 2
Pelo Teorema do Valor Médio, existe algum
tal que
Passo 3
Como
, segue que
ou seja
Passo 4
Para ver que esse valor pode ser alcançado, basta tomar a função afim
. De fato,
,
e
.
Resposta
O maior valor possível de
é
.