1. Dada a função f(x)=|x-2|, explique por que o Teorema do Valor Médio não pode ser aplicado no intervalo [1,3].

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=|x-2| e pede para explicar por que o Teorema do Valor Médio não pode ser aplicado no intervalo [1,3]. O conteúdo que vamos usar é o próprio enunciado do Teorema do Valor Médio, que exige duas hipóteses:
  1. f deve ser contínua em [a,b].
  2. f deve ser diferenciável em (a,b).

Passo 2

Verificamos a continuidade de f em [1,3]. A função valor absoluto é contínua em toda a reta, logo em particular ela é contínua em [1,3]. Portanto, a primeira hipótese do Teorema do Valor Médio está satisfeita.

Passo 3

Agora checamos a diferenciabilidade de f\) em \((1,3)\). Escrevendo-a em forma de pedaços: \[f(x)= \begin{cases} 2 - x, & x<2,\\\ x - 2, & x\ge2. \end{cases}
Para x<2\] a derivada é \(f'(x)=-1; para x>2 a derivada é f'(x)=1. No ponto x=2, os limites laterais da derivada são diferentes:
\lim_{x\to2^-}f'(x)=-1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to2^+}f'(x)=1,
portanto f'(2) não existe. Assim, f não é diferenciável em x=2, que pertence ao intervalo aberto (1,3).

Resposta

O Teorema do Valor Médio não pode ser aplicado porque, apesar de f ser contínua em [1,3], ela não é diferenciável em x=2, violando a segunda hipótese do teorema.

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