1. (a) Suponha que f satisfaça \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=+\infty. É possível que a sequência \{f(1 / n)\} convirja? Explique.
    (b) Encontre uma função f tal que \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) não exista, mas a sequência \{f(1 / n)\} convirja.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na (a) temos uma função f que explode para +\infty quando x\to0^+ e queremos saber se, mesmo assim, a sequência f(1/n) pode convergir a um número real. Na (b) precisamos dar um exemplo de f cujo limite à direita em zero não exista, mas a sequência f(1/n) convirja. Vamos usar a relação entre limite de função e limites de sequências.

Passo 2

Parte (a): se \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty, então, por definição, para qualquer M>0 existe \delta>0 tal que sempre que 0<x<\delta temos f(x)>M. Como 1/n\to0^+, existe N tal que para todo n>N vale 1/n<\delta. Logo
f(1/n)>M\quad\text{para todo }n>N.
Isto prova que f(1/n)\to+\infty, isto é, não pode convergir a um número finito.

Passo 3

Parte (b): queremos uma função que oscile demais para não ter limite em 0^+, mas que em x=1/n assume sempre o mesmo valor. Uma escolha clássica é
f(x)=\sin\!\Bigl(\tfrac{2\pi}{x}\Bigr).
Como x\to0^+ faz 2\pi/x\to+\infty, o seno oscila entre -1 e 1 sem se aproximar de valor único, logo \lim_{x\to0^+}f(x) não existe. Por outro lado, para x=1/n temos
f(1/n)=\sin(2\pi n)=0
para todo n, de modo que a sequência \{f(1/n)\} converge para 0.

Resposta

(a) Não. Se \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty, então f(1/n)\to+\infty e não a um número finito.
(b) Por exemplo,
f(x)=\sin\!\Bigl(\tfrac{2\pi}{x}\Bigr),
pois \lim_{x\to0^+}f(x) não existe, mas f(1/n)=0 para todo n, logo \{f(1/n)\} converge a 0.

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