- (a) Suponha que
satisfaça
. É possível que a sequência
convirja? Explique.
(b) Encontre uma função
tal que
não exista, mas a sequência
convirja.
(b) Encontre uma função
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na (a) temos uma função
que explode para
quando
e queremos saber se, mesmo assim, a sequência
pode convergir a um número real. Na (b) precisamos dar um exemplo de
cujo limite à direita em zero não exista, mas a sequência
convirja. Vamos usar a relação entre limite de função e limites de sequências.
Passo 2
Parte (a): se
, então, por definição, para qualquer
existe
tal que sempre que
temos
. Como
, existe
tal que para todo
vale
. Logo
Isto prova que
, isto é, não pode convergir a um número finito.
Passo 3
Parte (b): queremos uma função que oscile demais para não ter limite em
, mas que em
assume sempre o mesmo valor. Uma escolha clássica é
Como
faz
, o seno oscila entre
e
sem se aproximar de valor único, logo
não existe. Por outro lado, para
temos
para todo
, de modo que a sequência
converge para
.
Resposta
(a) Não. Se
, então
e não a um número finito.
(b) Por exemplo,
(b) Por exemplo,
pois
não existe, mas
para todo
, logo
converge a
.