Suponha que a função de custo total de uma empresa em concorrência perfeita seja dada por CT=Q^3- 8 Q^2+30 Q+5. (Pindyck & Rubinfeld)
a) Calcule o custo variável, o custo fixo, o custo médio, o custo variável médio, o custo fixo médio e o custo marginal.
b) Calcule a produção que minimiza o custo variável médio. Qual é o valor do CVMe a esse nível de produção?

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: em concorrência perfeita, a função de custo total é
CT(Q)=Q^3-8Q^2+30Q+5
O assunto é Teoria da Firma: separar custo fixo e variável, calcular custos médios e marginal, e achar a produção que minimiza o custo variável médio. Para isso a gente vai usar definições básicas (como CM(Q)=CT(Q)/Q) e derivadas (pra custo marginal e pra achar mínimo).

Passo 2

Primeiro, separar custo fixo (CF) e custo variável (CV).
  • Custo fixo é a parte que não depende de Q, ou seja CF=5
  • Custo variável é o resto da função: CV(Q)=Q^3-8Q^2+30Q

Passo 3

Agora calculamos os custos médios:
  1. Custo médio total: CM(Q)=CT(Q)Q =Q^3-8Q^2+30Q+5Q =Q^2-8Q+30+5Q
  2. Custo variável médio: CVMe(Q)=CV(Q)Q =Q^3-8Q^2+30QQ =Q^2-8Q+30
  3. Custo fixo médio: CFMe(Q)=CFQ =5Q

Passo 4

Cálculo do custo marginal:
CMg(Q)=d,CT(Q)dQ =ddQl(Q^3-8Q^2+30Q+5r) =3Q^2-16Q+30

Passo 5

Pra achar o Q que minimiza o custo variável médio CVMe(Q)=Q^2-8Q+30, a gente deriva e iguala a zero:
d,CVMedQ=2Q-8=0 ;;Longrightarrow;; Q=4
Como a segunda derivada é 2>0, isso é mesmo mínimo.

Passo 6

Agora, o valor de CVMe em Q=4 é
CVMe(4)=4^2-8cdot4+30=16-32+30=14

Resposta

  • Custo variável: CV(Q)=Q^3-8Q^2+30Q.
  • Custo fixo: CF=5.
  • Custo médio total: CM(Q)=Q^2-8Q+30+5Q.
  • Custo variável médio: CVMe(Q)=Q^2-8Q+30.
  • Custo fixo médio: CFMe(Q)=5Q.
  • Custo marginal: CMg(Q)=3Q^2-16Q+30.
  • A produção que minimiza CVMe é Q=4, e o mínimo valor é CVMe(4)=14.

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