Antes de decidir sobre a expansão de sua capacidade de produção, uma determinada usina de açúcar está analisando a demanda para seu produto. Preliminarmente, os resultados indicam que a demanda média diária, em toneladas
, está em função do preço
, conforme a equação:
a) Assuma que esta empresa planeja vender 400 toneladas por dia. Qual o preço que ela vai cobrar?
b) Quantas toneladas por dia a companhia consegue vender ao preço de
?
c) Encontre a função de receita total e receita marginal
d) Plote as curvas de: demanda, receita marginal e receita total.
e) A que preço a usina maximizaria sua receita? Demonstre matematicamente (
).
b) Quantas toneladas por dia a companhia consegue vender ao preço de
c) Encontre a função de receita total e receita marginal
d) Plote as curvas de: demanda, receita marginal e receita total.
e) A que preço a usina maximizaria sua receita? Demonstre matematicamente (
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que a demanda diária Q (toneladas) depende do preço P segundo
A matéria aqui é Microeconomia básica: função de demanda, receita total (TR), receita marginal (RMg) e maximização via derivadas. Para resolver, vamos precisar de:
- Álgebra (para inverter a função de demanda e resolver equações simples)
- Cálculo diferencial (para obter receita marginal como derivada da receita total)
Passo 2
a) Queremos vender Q = 400 t. Basta achar o P que faz 1000 − 1,2 P = 400.
- Escreve a equação:
2. Isola P:
Ou seja, o preço será R$ 500,00 por tonelada.
Passo 3
b) Agora P = 300. Queremos Q:
Logo, a usina vende 640 t/dia a R$ 300,00/t.
Passo 4
c) Função de Receita Total (TR) e Receita Marginal (RMg)
- Receita Total é preço vezes quantidade:
Mas como Q é função de P, dá para escrever TR em função de P:
- Receita Marginal é a derivada da TR em relação à quantidade vendida.
Para facilitar, primeiro invertemos a demanda e expressamos P em função de Q:
Substituindo em TR = P·Q:
Agora derivamos em relação a Q:$$\mathrm{RMg}(Q) = \frac{d,\mathrm{TR}}{dQ}= \frac{1000 - 2,Q}{1{,}2},. $$
Passo 5
d) Gráficos
- Demanda: reta decrescente com interceptos P=0 ⇒ Q=1000 e Q=0 ⇒ P=833{,}33.
- TR(Q): parábola côncava para baixo com vértice em Q=500; TR máxima ≈208 333,33.
- RMg(Q): reta decrescente que intercepta o eixo Q em Q=500 (quando RMg=0) e o eixo valor em 1000/1,2≈833,33.
Você pode desenhar no papel com eixo horizontal Q e vertical P ou TR/RMg, marcando esses pontos chave.
Passo 6
e) Para maximizar a receita, iguala RMg = 0:
Então o Q que maximiza é 500 t. Qual o preço?
A usina maximizaria a receita cobrando cerca de R$ 416,67 por tonelada.
Resposta
a) R$ 500,00/t
b) 640 t/dia
c)
TR§=1000 P−1,2 P²
RMg(Q)=(1000−2Q)/1,2
d) Ver gráfico:
• Demanda: reta P= (1000−Q)/1,2
• TR: parábola com vértice em Q=500
• RMg: reta cruzando Q=500 quando vale zero
e) Preço que maximiza a receita ≈ R$ 416,67/t.
b) 640 t/dia
c)
TR§=1000 P−1,2 P²
RMg(Q)=(1000−2Q)/1,2
d) Ver gráfico:
• Demanda: reta P= (1000−Q)/1,2
• TR: parábola com vértice em Q=500
• RMg: reta cruzando Q=500 quando vale zero
e) Preço que maximiza a receita ≈ R$ 416,67/t.