Antes de decidir sobre a expansão de sua capacidade de produção, uma determinada usina de açúcar está analisando a demanda para seu produto. Preliminarmente, os resultados indicam que a demanda média diária, em toneladas (Q), está em função do preço (P), conforme a equação:
Q=f(P)=1000-1,2 P
a) Assuma que esta empresa planeja vender 400 toneladas por dia. Qual o preço que ela vai cobrar?
b) Quantas toneladas por dia a companhia consegue vender ao preço de R ?
c) Encontre a função de receita total e receita marginal
d) Plote as curvas de: demanda, receita marginal e receita total.
e) A que preço a usina maximizaria sua receita? Demonstre matematicamente ( ? c) Encontre a função de receita total e receita marginal d) Plote as curvas de: demanda, receita marginal e receita total e) A que preço a usina maximizaria sua receita? Demonstre matematicamente ( ).

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a demanda diária Q (toneladas) depende do preço P segundo
Q = f(P) = 1000 - 1,2,P,
A matéria aqui é Microeconomia básica: função de demanda, receita total (TR), receita marginal (RMg) e maximização via derivadas. Para resolver, vamos precisar de:
- Álgebra (para inverter a função de demanda e resolver equações simples)
- Cálculo diferencial (para obter receita marginal como derivada da receita total)

Passo 2

a) Queremos vender Q = 400 t. Basta achar o P que faz 1000 − 1,2 P = 400.
  1. Escreve a equação: 400 = 1000 - 1,2,P
    2. Isola P:
    1,2,P = 1000 - 400 = 600 P = 6001,2 = 500,
    Ou seja, o preço será R$ 500,00 por tonelada.

Passo 3

b) Agora P = 300. Queremos Q:
Q = 1000 - 1,2 times 300 = 1000 - 360 = 640,
Logo, a usina vende 640 t/dia a R$ 300,00/t.

Passo 4

c) Função de Receita Total (TR) e Receita Marginal (RMg)
  1. Receita Total é preço vezes quantidade: TR = P cdot Q,
    Mas como Q é função de P, dá para escrever TR em função de P:
    TR(P) = P,(1000 - 1,2,P) = 1000,P - 1,2,P^2,
  2. Receita Marginal é a derivada da TR em relação à quantidade vendida.
    Para facilitar, primeiro invertemos a demanda e expressamos P em função de Q: Q = 1000 - 1,2,P Rightarrow P = 1000 - Q1,2,
    Substituindo em TR = P·Q:
    TR(Q) = Qcdot1000 - Q1,2 = 1000,Q - Q^21,2, Agora derivamos em relação a Q:$$\mathrm{RMg}(Q) = \frac{d,\mathrm{TR}}{dQ}= \frac{1000 - 2,Q}{1{,}2},. $$

Passo 5

d) Gráficos
  • Demanda: reta decrescente com interceptos P=0 ⇒ Q=1000 e Q=0 ⇒ P=833{,}33.
  • TR(Q): parábola côncava para baixo com vértice em Q=500; TR máxima ≈208 333,33.
  • RMg(Q): reta decrescente que intercepta o eixo Q em Q=500 (quando RMg=0) e o eixo valor em 1000/1,2≈833,33.
    Você pode desenhar no papel com eixo horizontal Q e vertical P ou TR/RMg, marcando esses pontos chave.

Passo 6

e) Para maximizar a receita, iguala RMg = 0:
1000 - 2,Q1,2 = 0 Rightarrow Q = 500,
Então o Q que maximiza é 500 t. Qual o preço?
P = 1000 - Q1,2 = 1000 - 5001,2 = 5001,2 approx 416,67,
A usina maximizaria a receita cobrando cerca de R$ 416,67 por tonelada.

Resposta

a) R$ 500,00/t
b) 640 t/dia
c)
TR§=1000 P−1,2 P²
RMg(Q)=(1000−2Q)/1,2
d) Ver gráfico:
• Demanda: reta P= (1000−Q)/1,2
• TR: parábola com vértice em Q=500
• RMg: reta cruzando Q=500 quando vale zero
e) Preço que maximiza a receita ≈ R$ 416,67/t.

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