Suponha que há dois relógios idênticos. Um está no térreo e outro no
25 pontos último andar de um prédio muito alto. Para um observador (que tem uma forma ultra-sensível de medir o tempo) situado no térreo deste prédio, qual relógio vai funcionar mais lentamente? Justifique.
Sua resposta

Passo 1

O enunciado tem dois relógios idênticos, um no térreo (altura h=0) e outro no 25º andar (altura hll R, onde R é o raio da Terra). O observador está no térreo e quer saber qual relógio “funciona” mais devagar. O conteúdo aqui é dilatação gravitacional do tempo em campo fraco, da Relatividade Geral.

Passo 2

Em campo gravitacional fraco e estático, o tempo próprio De<atau(r) de um relógio a uma distância r do centro da Terra (potencial varphi=-GM/r) relaciona-se ao tempo coordenado De<a t no infinito por
De<atau(r) =De<a traiz1-2GMrc^2 approxDe<a tl(1-GMrc^2r),
onde usamos a expansão raiz1-xapprox1-tfracx2 para xll1.

Passo 3

Para o relógio no térreo ( r=R) e no 25º andar ( r=R+h), obtemos
De<atautérreo approx De<a tl(1-GMRc^2r), De<atauandar approx De<a tl(1-GM(R+h)c^2r) é
Como hll R, escrevemos tfrac1R+happroxtfrac1Rl(1-tfrachRr) e usamos g=GM/R^2. Isso dá
De<atauandar approx De<a tl(1-tfracGMRc^2+tfracGMR^2c^2hr) = De<atautérreol(1+ghc^2r) é

Passo 4

Da expressão
De<atauandar =De<atautérreol(1+ghc^2r) é
vemos que De<atauandar>De<atautérreoé: em um mesmo intervalo de tempo coordenado, o relógio do 25º andar acumula mais tempo próprio. Logo, em comparação direta, o relógio do térreo marca menos tempo—isto é, funciona mais devagar.

Resposta

O relógio que fica no térreo funciona mais lentamente.

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