Suponha que haja nove estudantes em uma classe de matemática discreta em uma pequena faculdade.
a) Mostre que a classe deve ter pelo menos cinco homens ou pelo menos cinco mulheres.
b) Mostre que a classe deve ter pelo menos três homens ou pelo menos sete mulheres.

Passo 1

Resumindo o enunciado: numa turma há 9 estudantes, dos quais m são homens e f são mulheres. Logo
m + f = 9.
Precisamos mostrar que
(a) ou m\ge5 ou f\ge5,
(b) ou m\ge3 ou f\ge7.
A ideia é usar prova por contradição: se ambos estiverem abaixo do limite, a soma fica menor que 9, contradizendo o total de alunos.

Passo 2

Parte (a): suponha, para chegar a uma contradição, que
m < 5\quad\text{e}\quad f < 5.
Como m e f são inteiros, isso significa
m \le 4\quad\text{e}\quad f \le 4,
logo
m + f \le 4 + 4 = 8.
Mas isso entra em choque com m+f=9. Portanto a hipótese de que ambos são menores que 5 é impossível, e concluímos que necessariamente
m \ge 5 \quad\text{ou}\quad f \ge 5.

Passo 3

Parte (b): de modo análogo, suponha que
m < 3\quad\text{e}\quad f < 7.
Como são inteiros, isso dá
m \le 2\quad\text{e}\quad f \le 6,
e então
m + f \le 2 + 6 = 8,
o que contradiz m+f=9. Logo não podem ocorrer simultaneamente m<3 e f<7, e segue que
m \ge 3 \quad\text{ou}\quad f \ge 7.

Resposta

(a) A turma tem pelo menos cinco homens ou pelo menos cinco mulheres.
(b) A turma tem pelo menos três homens ou pelo menos sete mulheres.

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