Suponha que haja nove estudantes em uma classe de matemática discreta em uma pequena faculdade.
a) Mostre que a classe deve ter pelo menos cinco homens ou pelo menos cinco mulheres.
b) Mostre que a classe deve ter pelo menos três homens ou pelo menos sete mulheres.
a) Mostre que a classe deve ter pelo menos cinco homens ou pelo menos cinco mulheres.
b) Mostre que a classe deve ter pelo menos três homens ou pelo menos sete mulheres.
Passo 1
Resumindo o enunciado: numa turma há
estudantes, dos quais
são homens e
são mulheres. Logo
Precisamos mostrar que
(a) ou ou
,
(b) ou ou
.
A ideia é usar prova por contradição: se ambos estiverem abaixo do limite, a soma fica menor que 9, contradizendo o total de alunos.
(a) ou
(b) ou
A ideia é usar prova por contradição: se ambos estiverem abaixo do limite, a soma fica menor que 9, contradizendo o total de alunos.
Passo 2
Parte (a): suponha, para chegar a uma contradição, que
Como
e
são inteiros, isso significa
logo
Mas isso entra em choque com
. Portanto a hipótese de que ambos são menores que 5 é impossível, e concluímos que necessariamente
Passo 3
Parte (b): de modo análogo, suponha que
Como são inteiros, isso dá
e então
o que contradiz
. Logo não podem ocorrer simultaneamente
e
, e segue que
Resposta
(a) A turma tem pelo menos cinco homens ou pelo menos cinco mulheres.
(b) A turma tem pelo menos três homens ou pelo menos sete mulheres.
(b) A turma tem pelo menos três homens ou pelo menos sete mulheres.