Suponha que \hat{\theta}_{1} e \hat{\theta}_{2} são estimadores de um parâmetro desconhecido \theta e que os seus valores esperados são \theta e \frac{\theta}{2}, respectivamente.
(a) Qual é o melhor estimador de \theta quando \operatorname{Var}\left(\hat{\theta}_{1}\right)=\operatorname{Var}\left(\hat{\theta}_{2}\right)=\frac{3 \theta^{2}}{4} ?
(b) Qual é o melhor estimador de \theta quando \operatorname{Var}\left(\hat{\theta}_{1}\right)=2 \theta^{2} e \operatorname{Var}\left(\hat{\theta}_{2}\right)=4 \theta^{2} ?

Passo 1

O enunciado dá dois estimadores de um parâmetro desconhecido \theta: \hat{\theta}_{1} e \hat{\theta}_{2}. Pergunta-se, em duas situações diferentes de variâncias, qual dos dois estimadores é o “melhor” (ou seja, qual devemos preferir para estimar \theta). As informações fornecidas são:
  • Expectativas:
    \mathbb{E}\!\left(\hat{\theta}_{1}\right)=\theta e \mathbb{E}\!\left(\hat{\theta}_{2}\right)=\dfrac{\theta}{2}.
  • Caso (a): \operatorname{Var}\!\left(\hat{\theta}_{1}\right)=\operatorname{Var}\!\left(\hat{\theta}_{2}\right)=\dfrac{3\theta^{2}}{4}.
  • Caso (b): \operatorname{Var}\!\left(\hat{\theta}_{1}\right)=2\theta^{2} e \operatorname{Var}\!\left(\hat{\theta}_{2}\right)=4\theta^{2}.
O problema pede, para cada caso, indicar qual estimador é melhor. (Não foi pedido transformar ou combinar estimadores — apenas escolher entre \hat{\theta}_{1} e \hat{\theta}_{2}.)

Passo 2

Conceito importante que vamos usar: erro quadrático médio (MSE). Vou explicar de forma bem direta e prática.
  • Definição: o erro quadrático médio de um estimador \hat{\theta} é
\operatorname{MSE}(\hat{\theta})=\mathbb{E}\big[(\hat{\theta}-\theta)^{2}\big].
  • Relação útil (fórmula que usamos sempre): a MSE se decompõe em variância mais quadrado do viés (bias):
\operatorname{MSE}(\hat{\theta})=\operatorname{Var}(\hat{\theta})+\big(\operatorname{Bias}(\hat{\theta})\big)^{2},
onde \operatorname{Bias}(\hat{\theta})=\mathbb{E}(\hat{\theta})-\theta.
Por que usamos MSE para dizer “melhor”? Porque ela junta duas coisas que importam: dispersão do estimador (variância) e deslocamento sistemático (viés). Um estimador com menor MSE é, em média quadrática, mais próximo de \theta.

Passo 3

Calcular os vieses (bias) dos dois estimadores usando a definição \operatorname{Bias}(\hat{\theta})=\mathbb{E}(\hat{\theta})-\theta.
  • Para \hat{\theta}_{1}:
\operatorname{Bias}(\hat{\theta}_{1})=\mathbb{E}\!\left(\hat{\theta}_{1}\right)-\theta=\theta-\theta=0.
Logo \hat{\theta}_{1} é não-viesado.
  • Para \hat{\theta}_{2}:
\operatorname{Bias}(\hat{\theta}_{2})=\mathbb{E}\!\left(\hat{\theta}_{2}\right)-\theta=\frac{\theta}{2}-\theta=-\frac{\theta}{2}.
O viés de \hat{\theta}_{2} é -\dfrac{\theta}{2}.

Passo 4

Agora escrevemos a fórmula da MSE para cada estimador em termos da variância dada e do viés calculado:
\operatorname{MSE}\!\left(\hat{\theta}_{i}\right)=\operatorname{Var}\!\left(\hat{\theta}_{i}\right)+\big(\operatorname{Bias}(\hat{\theta}_{i})\big)^{2},\qquad i=1,2.
Substituiremos para os dois casos (a) e (b).

Passo 5

Caso (a): \operatorname{Var}\!\left(\hat{\theta}_{1}\right)=\operatorname{Var}\!\left(\hat{\theta}_{2}\right)=\dfrac{3\theta^{2}}{4}.
  • Para \hat{\theta}_{1}:
\operatorname{MSE}\!\left(\hat{\theta}_{1}\right)=\frac{3\theta^{2}}{4}+0^{2}=\frac{3\theta^{2}}{4}.
  • Para \hat{\theta}_{2}:
\operatorname{MSE}\!\left(\hat{\theta}_{2}\right)=\frac{3\theta^{2}}{4}+\left(-\frac{\theta}{2}\right)^{2} =\frac{3\theta^{2}}{4}+\frac{\theta^{2}}{4}=\theta^{2}.
Comparação: \dfrac{3\theta^{2}}{4} < \theta^{2}, portanto \operatorname{MSE}\!\left(\hat{\theta}_{1}\right)<\operatorname{MSE}\!\left(\hat{\theta}_{2}\right). Conclusão: em (a) \hat{\theta}_{1} é melhor (menor MSE).

Passo 6

Caso (b): \operatorname{Var}\!\left(\hat{\theta}_{1}\right)=2\theta^{2} e \operatorname{Var}\!\left(\hat{\theta}_{2}\right)=4\theta^{2}.
  • Para \hat{\theta}_{1}:
\operatorname{MSE}\!\left(\hat{\theta}_{1}\right)=2\theta^{2}+0^{2}=2\theta^{2}.
  • Para \hat{\theta}_{2}:
\operatorname{MSE}\!\left(\hat{\theta}_{2}\right)=4\theta^{2}+\left(-\frac{\theta}{2}\right)^{2} =4\theta^{2}+\frac{\theta^{2}}{4}=\frac{16\theta^{2}+\theta^{2}}{4}=\frac{17\theta^{2}}{4}=4{,}25\,\theta^{2}.
Comparação: 2\theta^{2} < \dfrac{17\theta^{2}}{4}. Portanto \operatorname{MSE}\!\left(\hat{\theta}_{1}\right)<\operatorname{MSE}\!\left(\hat{\theta}_{2}\right). Conclusão: em (b) também \hat{\theta}_{1} é melhor.

Resposta

(a) \hat{\theta}_{1}
(b) \hat{\theta}_{1}

Exercícios relacionados