Suponha que
e
são estimadores de um parâmetro desconhecido
e que os seus valores esperados são
e
, respectivamente.
(a) Qual é o melhor estimador de
quando
?
(b) Qual é o melhor estimador de
quando
e
?
(a) Qual é o melhor estimador de
(b) Qual é o melhor estimador de
Passo 1
O enunciado dá dois estimadores de um parâmetro desconhecido
:
e
. Pergunta-se, em duas situações diferentes de variâncias, qual dos dois estimadores é o “melhor” (ou seja, qual devemos preferir para estimar
). As informações fornecidas são:
- Expectativas:
e . - Caso (a):
. - Caso (b):
e .
O problema pede, para cada caso, indicar qual estimador é melhor. (Não foi pedido transformar ou combinar estimadores — apenas escolher entre
e
.)
Passo 2
Conceito importante que vamos usar: erro quadrático médio (MSE). Vou explicar de forma bem direta e prática.
- Definição: o erro quadrático médio de um estimador
é
- Relação útil (fórmula que usamos sempre): a MSE se decompõe em variância mais quadrado do viés (bias):
onde
.
Por que usamos MSE para dizer “melhor”? Porque ela junta duas coisas que importam: dispersão do estimador (variância) e deslocamento sistemático (viés). Um estimador com menor MSE é, em média quadrática, mais próximo de
.
Passo 3
Calcular os vieses (bias) dos dois estimadores usando a definição
.
- Para
:
Logo
é não-viesado.
- Para
:
O viés de
é
.
Passo 4
Agora escrevemos a fórmula da MSE para cada estimador em termos da variância dada e do viés calculado:
Substituiremos para os dois casos (a) e (b).
Passo 5
Caso (a):
.
- Para
:
- Para
:
Comparação:
, portanto
. Conclusão: em (a)
é melhor (menor MSE).
Passo 6
Caso (b):
e
.
- Para
:
- Para
:
Comparação:
. Portanto
. Conclusão: em (b) também
é melhor.
Resposta
(a)
(b)