Para um parâmetro desconhecido
de certa população foram indicados dois estimadores,
e
. Diga qual preferiria, sabendo que:
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Passo 1
O enunciado dá duas estimadores para um mesmo parâmetro desconhecido
. Pergunta qual estimador eu preferiria, sabendo as seguintes informações:
Ou seja: ambas têm a mesma esperança (mesmo viés), e as variâncias são diferentes. A pergunta é: qual estimador você prefere?
Passo 2
Primeiro vamos calcular o viés (bias) de cada estimador. O viés de um estimador
é definido por
Aqui
é a esperança do estimador e
é o verdadeiro parâmetro. O viés mede o deslocamento médio do estimador em relação ao valor verdadeiro.
Passo 3
Calculemos o viés para ambos (a esperança fornecida é a mesma para os dois):
Como
, segue que
Portanto os dois estimadores têm exatamente o mesmo viés.
Passo 4
Como os viéses são iguais, a comparação entre os estimadores pode ser feita pela variância ou pelo erro quadrático médio (MSE). Vou explicar o MSE porque é a medida que combina viés e variância:
Aqui
mede a dispersão aleatória do estimador e
mede o erro sistemático ao quadrado. MSE é a esperança do quadrado do erro — é um critério padrão para comparar estimadores (quanto menor, melhor).
Passo 5
Calculemos o quadrado do viés (que é igual para os dois):
Passo 6
Agora escrevemos o MSE de cada estimador usando a fórmula:
Observe que os termos de viés ao quadrado são idênticos nos dois MSEs, então a diferença entre os MSEs vem só das variâncias.
Passo 7
Compare diretamente as variâncias (já que o viés é o mesmo):
Como
e
, temos
Portanto
, e consequentemente
Uma forma rápida de ver a diferença dos MSEs:
Passo 8
Interpretação final e intuição: os dois estimadores têm o mesmo desvio médio (mesmo viés), ou seja ambos erram, em média, na mesma direção e com a mesma magnitude relativa. Mas
varia menos ao redor dessa média (tem menor variância), então seus erros quadráticos esperados são menores. Em termos práticos na prova: quando dois estimadores têm mesmo viés, escolha o que tiver menor variância (ou menor MSE). Isso é exatamente o caso aqui.