Para um parâmetro desconhecido \theta de certa população foram indicados dois estimadores, \hat{\theta}_{1} e \hat{\theta}_{2}. Diga qual preferiria, sabendo que:
  • E\left(\hat{\theta}_{1}\right)=\frac{\theta}{n}
  • \operatorname{Var}\left(\hat{\theta}_{1}\right)=\frac{\theta^{2}}{n}
  • E\left(\hat{\theta}_{2}\right)=\frac{\theta}{n}
  • \operatorname{Var}\left(\hat{\theta}_{2}\right)=\frac{\theta^{2}}{n+3}

Passo 1

O enunciado dá duas estimadores para um mesmo parâmetro desconhecido \theta. Pergunta qual estimador eu preferiria, sabendo as seguintes informações:
E\big(\hat{\theta}_{1}\big)=\frac{\theta}{n},\qquad \operatorname{Var}\big(\hat{\theta}_{1}\big)=\frac{\theta^{2}}{n},
E\big(\hat{\theta}_{2}\big)=\frac{\theta}{n},\qquad \operatorname{Var}\big(\hat{\theta}_{2}\big)=\frac{\theta^{2}}{n+3}.
Ou seja: ambas têm a mesma esperança (mesmo viés), e as variâncias são diferentes. A pergunta é: qual estimador você prefere?

Passo 2

Primeiro vamos calcular o viés (bias) de cada estimador. O viés de um estimador \hat{\theta} é definido por
\text{bias}(\hat{\theta}) = E(\hat{\theta}) - \theta.
Aqui E(\hat{\theta}) é a esperança do estimador e \theta é o verdadeiro parâmetro. O viés mede o deslocamento médio do estimador em relação ao valor verdadeiro.

Passo 3

Calculemos o viés para ambos (a esperança fornecida é a mesma para os dois):
\text{bias}\big(\hat{\theta}_{1}\big)=E\big(\hat{\theta}_{1}\big)-\theta=\frac{\theta}{n}-\theta=\theta\Big(\frac{1}{n}-1\Big)= -\theta\frac{n-1}{n}.
Como E(\hat{\theta}_2)=E(\hat{\theta}_1), segue que
\text{bias}\big(\hat{\theta}_{2}\big)= -\theta\frac{n-1}{n}.
Portanto os dois estimadores têm exatamente o mesmo viés.

Passo 4

Como os viéses são iguais, a comparação entre os estimadores pode ser feita pela variância ou pelo erro quadrático médio (MSE). Vou explicar o MSE porque é a medida que combina viés e variância:
\operatorname{MSE}(\hat{\theta}) = E\big[(\hat{\theta}-\theta)^2\big] = \operatorname{Var}(\hat{\theta}) + \big(\text{bias}(\hat{\theta})\big)^2.
Aqui \operatorname{Var}(\hat{\theta}) mede a dispersão aleatória do estimador e \big(\text{bias}(\hat{\theta})\big)^2 mede o erro sistemático ao quadrado. MSE é a esperança do quadrado do erro — é um critério padrão para comparar estimadores (quanto menor, melhor).

Passo 5

Calculemos o quadrado do viés (que é igual para os dois):
\big(\text{bias}\big(\hat{\theta}_{i}\big)\big)^2=\Big(-\theta\frac{n-1}{n}\Big)^2=\theta^{2}\frac{(n-1)^{2}}{n^{2}}.

Passo 6

Agora escrevemos o MSE de cada estimador usando a fórmula:
\operatorname{MSE}\big(\hat{\theta}_{1}\big)=\operatorname{Var}\big(\hat{\theta}_{1}\big)+\big(\text{bias}\big(\hat{\theta}_{1}\big)\big)^2 =\frac{\theta^{2}}{n}+\theta^{2}\frac{(n-1)^{2}}{n^{2}}.
\operatorname{MSE}\big(\hat{\theta}_{2}\big)=\operatorname{Var}\big(\hat{\theta}_{2}\big)+\big(\text{bias}\big(\hat{\theta}_{2}\big)\big)^2 =\frac{\theta^{2}}{n+3}+\theta^{2}\frac{(n-1)^{2}}{n^{2}}.
Observe que os termos de viés ao quadrado são idênticos nos dois MSEs, então a diferença entre os MSEs vem só das variâncias.

Passo 7

Compare diretamente as variâncias (já que o viés é o mesmo):
\frac{\theta^{2}}{n+3}\; \text{ versus }\; \frac{\theta^{2}}{n}.
Como n+3>n e \theta^{2}\ge 0, temos
\frac{\theta^{2}}{n+3} < \frac{\theta^{2}}{n}.
Portanto \operatorname{Var}(\hat{\theta}_2) < \operatorname{Var}(\hat{\theta}_1), e consequentemente
\operatorname{MSE}\big(\hat{\theta}_{2}\big) < \operatorname{MSE}\big(\hat{\theta}_{1}\big).
Uma forma rápida de ver a diferença dos MSEs:
\operatorname{MSE}\big(\hat{\theta}_{1}\big)-\operatorname{MSE}\big(\hat{\theta}_{2}\big) =\theta^{2}\Big(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\Big) =\theta^{2}\frac{3}{n(n+3)}>0.

Passo 8

Interpretação final e intuição: os dois estimadores têm o mesmo desvio médio (mesmo viés), ou seja ambos erram, em média, na mesma direção e com a mesma magnitude relativa. Mas \hat{\theta}_{2} varia menos ao redor dessa média (tem menor variância), então seus erros quadráticos esperados são menores. Em termos práticos na prova: quando dois estimadores têm mesmo viés, escolha o que tiver menor variância (ou menor MSE). Isso é exatamente o caso aqui.

Resposta

\hat{\theta}_{2}

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