Suponha que a \in X^{\prime}, e que as funções f, g: X \rightarrow \mathbb{R} satisfazem \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=M. Mostre que \lim _{x \rightarrow a}[f(x)+g(x)]=L+M.
Passo 1
O enunciado afirma que a é ponto de acumulação de X (isto é, a \in X') e que
\lim_{x \to a} f(x) = L \quad\text{e}\quad \lim_{x \to a} g(x) = M.
Queremos mostrar que
\lim_{x \to a}\bigl[f(x)+g(x)\bigr] = L + M.
O conteúdo aqui é o uso da definição \varepsilon\text{-}\delta para limites de funções reais.
Passo 2
Pela definição de limite, dizer que \lim_{x\to a}f(x)=L significa:
para todo \varepsilon_1>0 existe \delta_1>0 tal que, sempre que x\in X e 0<|x-a|<\delta_1, temos
|f(x)-L|<\varepsilon_1.
De modo análogo, \lim_{x\to a}g(x)=M significa que para todo \varepsilon_2>0 existe \delta_2>0 tal que, se 0<|x-a|<\delta_2, então
|g(x)-M|<\varepsilon_2.
Passo 3
Seja agora \varepsilon>0. Queremos escolher um \delta>0 que garanta
\bigl|\,f(x)+g(x)-(L+M)\bigr|<\varepsilon
sempre que 0<|x-a|<\delta. Uma estratégia clássica é dividir \varepsilon em duas partes iguais. Defina