(limites e desigualdades) Suponha
e que as funções
:
satisfazem
e
.
(a) Mostre que se
então existe
tal que
(sugestão: tome
).
(b) No item anterior, podemos substituir a hipótese
por
e concluir que
?
(c) Mostre que se
então existe
tal que
(d) Mostre que se
então
.
(e) Mostre que se
então
.
(a) Mostre que se
(b) No item anterior, podemos substituir a hipótese
(c) Mostre que se
(e) Mostre que se
Passo 1
O enunciado considera um ponto de acumulação
e duas funções
com
e
. Vamos usar a definição
-
de limite e argumentos de desigualdade.
Passo 2
(a) Suponha
. Pela definição de limite, existe
tal que, para todo
com
, vale
se escolhermos
. Então
ou seja,
sempre que
.
Passo 3
(b) Se
, não faz sentido tomar
na definição de limite, pois precisamos de
. Além disso, mesmo sabendo que
,
pode assumir valores negativos arbitrariamente perto de
. Por exemplo, em
, defina
Então
, mas
para
. Logo não podemos garantir
.
Passo 4
(c) Se
, então
. Defina
. Temos
Aplicando o item (a) a
, existe
tal que, para
,
Passo 5
(d) Suponha
para todo
. Se, por absurdo,
, tome
. Então existe
tal que
sempre que
. Isso implica
contrariando
. Portanto
.
Passo 6
(e) Se
para todo
, defina novamente
. Da parte (d) segue
Resposta
(a) Escolhendo
obtém-se
tal que
em
.
(b) Não: se não há
igual a zero, e
pode ser negativa perto de
(ex.:
).
(c) Defina e use (a) com
.
(d) Se contraição com
, logo
.
(e) Defina e aplique (d) a
, obtendo
, ou seja,
.
(b) Não: se
(c) Defina
(d) Se
(e) Defina