(limites e desigualdades) Suponha a \in X^{\prime} e que as funções f, g : X \rightarrow \mathbb{R} satisfazem \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=M.
(a) Mostre que se L>0 então existe \delta>0 tal que
x \in X, 0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>0 .
(sugestão: tome \epsilon=L ).
(b) No item anterior, podemos substituir a hipótese L>0 por L \geq 0 e concluir que f(x) \geq 0 ?
(c) Mostre que se L>M então existe \delta>0 tal que
x \in X, 0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>g(x) .
(d) Mostre que se f(x) \geq 0, \forall x \in X \backslash\{a\} então L \geq 0.
(e) Mostre que se f(x) \geq g(x), \forall x \in X \backslash\{a\} então L \geq M.

Passo 1

O enunciado considera um ponto de acumulação a\in X' e duas funções f,g\colon X\to\mathbb{R} com
\lim_{x\to a}f(x)=L e \lim_{x\to a}g(x)=M. Vamos usar a definição \varepsilon- \delta de limite e argumentos de desigualdade.

Passo 2

(a) Suponha L>0. Pela definição de limite, existe \delta>0 tal que, para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta, vale
|f(x)-L|<\varepsilon,
se escolhermos \varepsilon=L>0. Então
f(x) > L - |f(x)-L| > L - L = 0,
ou seja, f(x)>0 sempre que 0<|x-a|<\delta.

Passo 3

(b) Se L=0, não faz sentido tomar \varepsilon=L=0 na definição de limite, pois precisamos de \varepsilon>0. Além disso, mesmo sabendo que \lim_{x\to a}f(x)=0, f pode assumir valores negativos arbitrariamente perto de a. Por exemplo, em X=\mathbb{R}\setminus\{0\}, defina
f(x)=x.
Então \lim_{x\to0}f(x)=0, mas f(x)<0 para x<0. Logo não podemos garantir f(x)\ge0.

Passo 4

(c) Se L>M, então L-M>0. Defina h(x)=f(x)-g(x). Temos
\lim_{x\to a}h(x)=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)=L-M>0.
Aplicando o item (a) a h, existe \delta>0 tal que, para 0<|x-a|<\delta,
h(x)>0\quad\Longrightarrow\quad f(x)>g(x).

Passo 5

(d) Suponha f(x)\ge0 para todo x\neq a. Se, por absurdo, L<0, tome \varepsilon=-L>0. Então existe \delta>0 tal que |f(x)-L|<\varepsilon sempre que 0<|x-a|<\delta. Isso implica
f(x) < L + \varepsilon = L +(-L)=0,
contrariando f(x)\ge0. Portanto L\ge0.

Passo 6

(e) Se f(x)\ge g(x) para todo x\neq a, defina novamente h(x)=f(x)-g(x)\ge0. Da parte (d) segue
\lim_{x\to a}h(x)=L-M\ge0 \;\Longrightarrow\; L\ge M.

Resposta

(a) Escolhendo \varepsilon=L obtém-se \delta>0 tal que f(x)>0 em 0<|x-a|<\delta.
(b) Não: se L=0 não há \varepsilon>0 igual a zero, e f pode ser negativa perto de a (ex.: f(x)=x-a).
(c) Defina h(x)=f(x)-g(x) e use (a) com L-M>0.
(d) Se L<0 contraição com f(x)\ge0, logo L\ge0.
(e) Defina h(x)=f(x)-g(x)\ge0 e aplique (d) a h, obtendo L-M\ge0, ou seja, L\ge M.

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