Suponha que a \in X^{\prime}, e que as funções f, g: X \rightarrow \mathbb{R} satisfazem \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=M. Mostre que \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}, caso M \neq 0.
Passo 1
O enunciado diz que a é ponto de acumulação de X, que \lim_{x\to a}f(x)=L e \lim_{x\to a}g(x)=M com M\neq0, e pede para mostrar que
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
O conteúdo é o cálculo de limites de quocientes usando definição \varepsilon-\delta.
Passo 2
Como \lim_{x\to a}g(x)=M e M\neq0, existe \delta_1>0 tal que, para 0<\lvert x-a\rvert<\delta_1, vale
\delta_2>0\text{ tal que, para }0<\lvert x-a\rvert<\delta_2,\; \lvert f(x)-L\rvert<\frac{\lvert M\rvert}{4}\,\varepsilon,
\delta_3>0\text{ tal que, para }0<\lvert x-a\rvert<\delta_3,\; \lvert g(x)-M\rvert<\frac{\lvert M\rvert^{2}}{4\,\lvert L\rvert}\,\varepsilon \quad(\text{se }L=0,\text{ esse termo é nulo e basta qualquer }\delta_3).é