Suponha que a \in X^{\prime}, e que as funções f, g: X \rightarrow \mathbb{R} satisfazem \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=M. Mostre que
\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}, caso M \neq 0.

Passo 1

O enunciado diz que a é ponto de acumulação de X, que
\lim_{x\to a}f(x)=L e \lim_{x\to a}g(x)=M com M\neq0, e pede para mostrar que
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
O conteúdo é o cálculo de limites de quocientes usando definição \varepsilon- \delta.

Passo 2

Como \lim_{x\to a}g(x)=M e M\neq0, existe \delta_1>0 tal que, para 0<\lvert x-a\rvert<\delta_1, vale
\lvert g(x)-M\rvert<\frac{\lvert M\rvert}{2} \quad\Longrightarrow\quad \lvert g(x)\rvert>\frac{\lvert M\rvert}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\lvert g(x)\rvert}<\frac{2}{\lvert M\rvert}.

Passo 3

Para estimar \Bigl\lvert \tfrac{f(x)}{g(x)} - \tfrac{L}{M}\Bigr\rvert, escrevemos
\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{L}{M} =\frac{M\,f(x)-L\,g(x)}{g(x)\,M} =\frac{M\bigl(f(x)-L\bigr)-L\bigl(g(x)-M\bigr)}{g(x)\,M}
e, portanto,
\Bigl\lvert \tfrac{f(x)}{g(x)} - \tfrac{L}{M}\Bigr\rvert \le \frac{\lvert M\rvert\,\lvert f(x)-L\rvert + \lvert L\rvert\,\lvert g(x)-M\rvert} {\lvert g(x)\rvert\,\lvert M\rvert} \le \frac{2}{\lvert M\rvert}\Bigl(\lvert f(x)-L\rvert + \tfrac{\lvert L\rvert}{\lvert M\rvert}\,\lvert g(x)-M\rvert\Bigr).

Passo 4

Dado \varepsilon>0, escolhemos
\delta_2>0\text{ tal que, para }0<\lvert x-a\rvert<\delta_2,\; \lvert f(x)-L\rvert<\frac{\lvert M\rvert}{4}\,\varepsilon,
\delta_3>0\text{ tal que, para }0<\lvert x-a\rvert<\delta_3,\; \lvert g(x)-M\rvert<\frac{\lvert M\rvert^{2}}{4\,\lvert L\rvert}\,\varepsilon \quad(\text{se }L=0,\text{ esse termo é nulo e basta qualquer }\delta_3).é
Então, para
0<\lvert x-a\rvert<\delta:=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\},
usando o passo anterior,
\Bigl\lvert \tfrac{f(x)}{g(x)} - \tfrac{L}{M}\Bigr\rvert \le \frac{2}{\lvert M\rvert}\Bigl(\frac{\lvert M\rvert}{4}\varepsilon +\frac{\lvert L\rvert}{\lvert M\rvert}\,\frac{\lvert M\rvert^{2}}{4\,\lvert L\rvert}\varepsilon\Bigr) =\varepsilon.
Isso prova que
\lim_{x\to a}\tfrac{f(x)}{g(x)}=L/M.

Resposta

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}.

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