Suponha que a \in X^{\prime}, e que as funções f, g: X \rightarrow \mathbb{R} satisfazem \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=M. Mostre que
\lim _{x \rightarrow a} \sqrt{f(x)}=\sqrt{L}, caso f(x) \geq 0, \forall x \in X \backslash\{a\}.

Passo 1

O enunciado diz que a é ponto de acumulação de X, que f\colon X\to\mathbb{R} satisfaz \lim_{x\to a}f(x)=L e que f(x)\ge0 para x\ne a. Queremos provar que \lim_{x\to a}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}. O conteúdo usado será definição \varepsilon- \delta de limite e a manipulação
\bigl|\sqrt{f(x)}-\sqrt{L}\bigr| =\frac{\bigl|f(x)-L\bigr|}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{L}}.

Passo 2

Definição de limite: dado \varepsilon>0, precisamos encontrar \delta>0 tal que, para todo x\in X com 0<|x-a|<\delta, valha
\bigl|\sqrt{f(x)}-\sqrt{L}\bigr|<\varepsilon.

Passo 3

Caso L>0.
Como \lim_{x\to a}f(x)=L, existe \delta_{1}>0 tal que
0<|x-a|<\delta_{1} \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\min\bigl(\tfrac{L}{2},\,\varepsilon\sqrt{\tfrac{L}{2}}\bigr).
Isso garante duas coisas:
  1. f(x)>L-\tfrac{L}{2}=\tfrac{L}{2}>0, logo \sqrt{f(x)}+\sqrt{L}\ge\sqrt{\tfrac{L}{2}}.
  2. |f(x)-L|<\varepsilon\sqrt{\tfrac{L}{2}}.
    Portanto, para 0<|x-a|<\delta_{1},
\bigl|\sqrt{f(x)}-\sqrt{L}\bigr| =\frac{|f(x)-L|}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{L}} <\frac{\varepsilon\sqrt{\tfrac{L}{2}}}{\sqrt{\tfrac{L}{2}}} =\varepsilon.

Passo 4

Caso L=0.
Aqui \lim_{x\to a}f(x)=0. Dado \varepsilon>0, escolha \delta_{2}>0 tal que
0<|x-a|<\delta_{2} \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-0|<\varepsilon^{2}.
Então 0\le f(x)<\varepsilon^{2} e
\bigl|\sqrt{f(x)}-\sqrt{0}\bigr|=\sqrt{f(x)}<\varepsilon.

Passo 5

Conclusão.
Basta tomar \delta=\min(\delta_{1},\delta_{2}) no caso L>0 (ou \delta=\delta_{2} se L=0). Assim, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 que garante
0<|x-a|<\delta \;\Longrightarrow\; \bigl|\sqrt{f(x)}-\sqrt{L}\bigr|<\varepsilon.
Logo \displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}.

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}.

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