Suponha que a \in X^{\prime}, e que as funções f, g: X \rightarrow \mathbb{R} satisfazem \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L e \lim _{x \rightarrow a} g(x)=M. Mostre que \lim _{x \rightarrow a} \sqrt{f(x)}=\sqrt{L}, caso f(x) \geq 0, \forall x \in X \backslash\{a\}.
Passo 1
O enunciado diz que a é ponto de acumulação de X, que f\colon X\to\mathbb{R} satisfaz \lim_{x\to a}f(x)=L e que f(x)\ge0 para x\ne a. Queremos provar que \lim_{x\to a}\sqrt{f(x)}=\sqrt{L}. O conteúdo usado será definição \varepsilon-\delta de limite e a manipulação
Conclusão.
Basta tomar \delta=\min(\delta_{1},\delta_{2}) no caso L>0 (ou \delta=\delta_{2} se L=0). Assim, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 que garante