Suponha que \lim _{x \rightarrow-3} f(x) existe e que \frac{x^{2}+5 x+6}{x+3} \leq \frac{f(x)}{x^{2}} \leq \frac{2 x^{2}+11 x+15}{x+3}, encontre \lim _{x \rightarrow-3} f(x). Gabarito:-9.

Passo 1

O enunciado diz que existe \lim_{x\to-3}f(x) e que, para x\neq -3 próximo de -3, vale
\frac{x^{2}+5x+6}{x+3}\;\le\;\frac{f(x)}{x^{2}}\;\le\;\frac{2x^{2}+11x+15}{x+3}.
O conteúdo aqui é limite de função e o Teorema do Confronto (Squeeze). Para aplicar, vamos primeiro simplificar as duas funções que limitam \tfrac{f(x)}{x^2}.

Passo 2

Observe que
x^{2}+5x+6 = (x+2)(x+3),
logo, para x\neq -3,
\frac{x^{2}+5x+6}{x+3} = x+2.
De modo análogo,
2x^{2}+11x+15 = (x+3)(2x+5)
e, para x\neq -3,
\frac{2x^{2}+11x+15}{x+3} = 2x+5.

Passo 3

Substituindo na desigualdade, obtemos para x\to -3, x\neq -3:
x+2 \;\le\;\frac{f(x)}{x^{2}}\;\le\;2x+5.
Agora, calculemos os limites das funções que confrontam \tfrac{f(x)}{x^2}:
\lim_{x\to-3}(x+2) = -3+2 = -1,
\lim_{x\to-3}(2x+5) = 2\cdot(-3)+5 = -6+5 = -1.
Como ambos os limites são iguais a -1, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to-3}\frac{f(x)}{x^{2}} = -1.

Passo 4

Para obter \lim_{x\to-3}f(x), reescrevemos
f(x) = x^{2}\,\frac{f(x)}{x^{2}},
e, passando ao limite,
\lim_{x\to-3}f(x) = \Bigl(\lim_{x\to-3}x^{2}\Bigr)\cdot\Bigl(\lim_{x\to-3}\frac{f(x)}{x^{2}}\Bigr) = (-3)^{2}\cdot(-1) = 9\cdot(-1) = -9.

Resposta

-9

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