(EFOMM-14) Seja a x+b y+c z+d=0 a equação do plano que passa pelos pontos (4,-2,2) e (1,1,5) e é perpendicular ao plano 3 x-2 y+5 z-1=0.
A razão \frac{d}{b} é:
(a) -\frac{5}{4}
b) \frac{4}{7}
c) 8
d) -\frac{1}{2}
e) \frac{2}{5}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação geral do plano \,a x+b y+c z+d=0\, que satisfaz duas condições:
  • passa pelos pontos (4,-2,2) e (1,1,5);
  • é perpendicular ao plano \,3x-2y+5z-1=0.
O que o enunciado pede: calcular a razão \displaystyle \frac{d}{b}.
Informações relevantes extraídas:
  • Ponto P_1=(4,-2,2).
  • Ponto P_2=(1,1,5).
  • Plano dado tem normal \vec{n_0}=(3,-2,5).
  • O vetor normal do plano procurado é \vec{n}=(a,b,c).

Passo 2

Condição de perpendicularidade entre planos: dois planos são perpendiculares quando seus vetores normais são perpendiculares. Produto escalar (dot product) explica isso: dois vetores \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) são perpendiculares se e somente se
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=0.
Aplicando ao caso, como \vec{n} deve ser perpendicular a \vec{n_0}=(3,-2,5), tem-se
3a-2b+5c=0.
Também, qualquer vetor que liga dois pontos do mesmo plano está contido no plano. O vetor que liga P_1 a P_2 é
\vec{v}=P_2-P_1=(1-4,\;1-(-2),\;5-2)=(-3,\;3,\;3).
Como \vec{v} está no plano, ele é perpendicular ao normal \vec{n}, portanto
\vec{n}\cdot\vec{v}=a(-3)+b(3)+c(3)=0.
Simplificando dividindo por 3,
-a+b+c=0,
ou equivalentemente
a=b+c.

Passo 3

Agora temos o sistema linear para a,b,c\): \[\begin{cases} a=b+c,\\[4pt] 3a-2b+5c=0. \end{cases}
Substituindo a=b+c\] na segunda equação: \[3(b+c)-2b+5c=0 \quad\Rightarrow\quad 3b+3c-2b+5c=0 \quad\Rightarrow\quad b+8c=0.\] Logo \[b=-8c.\] E então \[a=b+c=-8c+c=-7c.\] Isso mostra que \(\vec{n}=(a,b,c) é proporcional a (-7,-8,1). Como a equação do plano é homogênea nos coeficientes a,b,c,d, podemos escolher a escala conveniente; escolhemos c=1 para simplificar, obtendo
(a,b,c)=(-7,-8,1).]

Passo 4

Com (a,b,c)=(-7,-8,1), encontramos d impondo que o plano passe por um dos pontos, por exemplo P_1=(4,-2,2). Substituindo na equação -7x-8y+1\cdot z+d=0:
-7\cdot4-8\cdot(-2)+1\cdot2+d=0.
Calculando:
-28+16+2+d=0 \quad\Rightarrow\quad -10+d=0 \quad\Rightarrow\quad d=10.
(Verificação rápida usando P_2=(1,1,5): -7-8+5+10=0, confere.)

Passo 5

Agora calculamos a razão pedida:
\frac{d}{b}=\frac{10}{-8}=-\frac{5}{4}.

Resposta

-\dfrac{5}{4}

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