(EFOMM-14) Seja
a equação do plano que passa pelos pontos
e
e é perpendicular ao plano
.
A razão
é:
(a)
b)
c) 8
d)
e)
A razão
(a)
b)
c) 8
d)
e)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação geral do plano
que satisfaz duas condições:
- passa pelos pontos
e ; - é perpendicular ao plano
.
O que o enunciado pede: calcular a razão
.
Informações relevantes extraídas:
- Ponto
. - Ponto
. - Plano dado tem normal
. - O vetor normal do plano procurado é
.
Passo 2
Condição de perpendicularidade entre planos: dois planos são perpendiculares quando seus vetores normais são perpendiculares. Produto escalar (dot product) explica isso: dois vetores
e
são perpendiculares se e somente se
Aplicando ao caso, como
deve ser perpendicular a
, tem-se
Também, qualquer vetor que liga dois pontos do mesmo plano está contido no plano. O vetor que liga
a
é
Como
está no plano, ele é perpendicular ao normal
, portanto
Simplificando dividindo por
,
ou equivalentemente
Passo 3
Agora temos o sistema linear para
Substituindo
é proporcional a
. Como a equação do plano é homogênea nos coeficientes
, podemos escolher a escala conveniente; escolhemos
para simplificar, obtendo
Passo 4
Com
, encontramos
impondo que o plano passe por um dos pontos, por exemplo
. Substituindo na equação
:
Calculando:
(Verificação rápida usando
:
, confere.)
Passo 5
Agora calculamos a razão pedida: