Q2 (1 , 0)) Suponha que a massa da partícula vale 2,0 kg e que a mesma desloca-se no sentido positivo do eixo- x com velocidade v ao passar pela posição x=3,0 m. Determine o menor valor de v para que
a partícula atinja a região x>8,0 m.
(a) v=2,0 m / s
(b) v=4,0 m / s
(c) v=6,0 m / s
(d) v=8,0 m / s
(e) v=10 m / s
(f) v=12 m / s

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula tem massa m=2{,}0\\ \text{kg} e que ela se desloca no sentido positivo do eixo- x com velocidade v ao passar por x=3{,}0\\ \text{m}. Pedem o menor valor de v para que a partícula atinja a região x>8{,}0\\ \text{m}. As alternativas são:
\text{(a) } v=2{,}0\\ \text{m/s},\quad \text{(b) } v=4{,}0\\ \text{m/s},\quad \text{\text{(c)} } v=6{,}0\\ \text{m/s},\quad \text{(d) } v=8{,}0\\ \text{m/s},\quad \text{(e) } v=10\\ \text{m/s},\quad \text{(f) } v=12\\ \text{m/s}.
Informação importante: o enunciado, como foi enviado, não inclui a figura ou a função que descreve as forças ou a energia potencial U(x) entre x=3{,}0\\ \text{m} e x=8{,}0\\ \text{m}. Essa informação é necessária para resolver numericamente o problema. Portanto, com os dados fornecidos, não é possível calcular um valor numérico definitivo — a figura/curva de U(x) (ou a força/ trabalho não conservativo) está faltando.

Passo 2

O que faltou e por que isso importa (detalhado):
  • Para saber se a partícula chega a x>8{,}0\\ \text{m} precisamos saber se existe alguma “barreira” de energia entre x=3{,}0\\ \text{m} e x=8{,}0\\ \text{m}. Essa barreira é representada pelo máximo da energia potencial U(x) no intervalo [3{,}0,\,8{,}0].
  • Dados necessários que deveriam vir na figura/texto:
    • o valor de U(3{,}0) (energia potencial no ponto inicial), ou pelo menos a diferença U_{\max}-U(3{,}0);
    • o valor de U_{\max}=\max_{x\in[3,8]} U(x) (o ponto mais alto de U entre 3 e 8, que define a barreira a vencer);
    • se houver forças dissipativas (atrito), o valor do trabalho não conservativo W_{\text{nc}} entre 3 e 8.
  • Sem esses valores numéricos não dá para escolher entre as alternativas porque cada alternativa corresponde a uma energia cinética inicial diferente.

Passo 3

Principais conceitos/idéias que vamos usar (aulas rápidas e amigáveis):
  • Conservação da energia mecânica (quando só há forças conservativas): a energia mecânica total E é a soma da energia cinética K e da energia potencial U: E = K + U = \frac{1}{2} m v^2 + U(x).Aqui m é a massa, v a velocidade, U(x) a energia potencial no ponto x.
  • Ponto de retorno (turning point): se a partícula tiver energia total E menor que algum valor U(x) em certo x, ela não pode alcançar esse x pois exigiria energia cinética negativa. Para que a partícula alcance até x=8 (ou além), sua energia total inicial deve ser pelo menos igual ao maior valor de U encontrado no caminho até x=8.
  • Logo, a condição para que a partícula atinja x>8{,}0\\ \text{m} (sem perdas dissipativas) é: \frac{1}{2} m v_{\min}^2 + U(3{,}0) \ge U_{\max},onde U_{\max}=\displaystyle\max_{x\in[3,8]} U(x).

Passo 4

Derivação da fórmula do menor v (passo a passo matemático, sem pular):
  • Partimos da igualdade no limite mínimo (a partícula chega exatamente ao ponto de maior potencial com velocidade zero): \frac{1}{2} m v_{\min}^2 + U(3{,}0) = U_{\max}.
  • Isolando v_{\min}: \frac{1}{2} m v_{\min}^2 = U_{\max} - U(3{,}0).
v_{\min}^2 = \frac{2\bigl(U_{\max}-U(3{,}0)\bigr)}{m}.
v_{\min} = \sqrt{\frac{2\bigl(U_{\max}-U(3{,}0)\bigr)}{m}}.
  • Interpretação das variáveis:
    • m é a massa da partícula ( m=2{,}0\\ \text{kg} no enunciado).
    • U(3{,}0) é a energia potencial quando a partícula está em x=3{,}0\\ \text{m}.
    • U_{\max} é o valor máximo de U(x) entre x=3{,}0 e x=8{,}0.
  • Se houver trabalho dissipativo W_{\text{nc}} (por exemplo, atrito fazendo trabalho negativo), a condição vira: \frac{1}{2} m v_{\min}^2 + U(3{,}0) + W_{\text{nc}} = U_{\max},e daí v_{\min} = \sqrt{\frac{2\bigl(U_{\max}-U(3{,}0)-W_{\text{nc}}\bigr)}{m}}.Observação: W_{\text{nc}} negativo torna a exigência maior (precisa de mais velocidade).

Passo 5

Cálculo rápido das energias cinéticas correspondentes às alternativas (útil na prova para comparar): usando m=2{,}0\\ \text{kg},
  • para v=2{,}0\\ \text{m/s}: K=\tfrac{1}{2} m v^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot (2{,}0)^2 = 4{,}0\\ \text{J}.
  • para v=4{,}0\\ \text{m/s}: K=\tfrac{1}{2}\cdot2{,}0\cdot(4{,}0)^2 = 16{,}0\\ \text{J}.
  • para v=6{,}0\\ \text{m/s}: K=\tfrac{1}{2}\cdot2{,}0\cdot(6{,}0)^2 = 36{,}0\\ \text{J}.
  • para v=8{,}0\\ \text{m/s}: K=\tfrac{1}{2}\cdot2{,}0\cdot(8{,}0)^2 = 64{,}0\\ \text{J}.
  • para v=10\\ \text{m/s}: K=\tfrac{1}{2}\cdot2{,}0\cdot(10)^2 = 100{,}0\\ \text{J}.
  • para v=12\\ \text{m/s}: K=\tfrac{1}{2}\cdot2{,}0\cdot(12)^2 = 144{,}0\\ \text{J}.
Comentário prático: se soubermos que U_{\max}-U(3{,}0)=36{,}0\\ \text{J}, então a alternativa correta seria v=6{,}0\\ \text{m/s} porque precisa de 36{,}0\\ \text{J} de energia cinética inicial. Sem o valor de U_{\max}-U(3{,}0) não dá para decidir.

Passo 6

Procedimento curto que você deve fazer na prova (checklist rápido e calmo):
  1. Olhe o gráfico/função de U(x) entre x=3 e x=8. Encontre U(3) e U_{\max} nesse intervalo.
  2. Calcule a diferença \Delta U=U_{\max}-U(3).
  3. Use a fórmula v_{\min}=\sqrt{\dfrac{2\,\Delta U}{m}}.
  4. Compare o v_{\min} obtido com as alternativas dadas (lembre-se de calcular ou comparar as energias cinéticas como no Passo 5).
  5. Se houver indicação de atrito ou trabalho não conservativo, inclua W_{\text{nc}} conforme explicado no Passo 4.
Eu sei que está estressante; respira fundo — com o gráfico na mão esse problema é mecânica básica de energia e você resolve rapidinho. Sem o gráfico, porém, não há como escolher numericamente entre (a)–(f).

Resposta

Não é possível determinar a alternativa correta com os dados fornecidos — falta a função/gráfico de U(x) (ou o trabalho das forças) entre x=3{,}0\\ \text{m} e x=8{,}0\\ \text{m}.

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