Suponha que \mathbf{R} e \mathbf{R}^{\prime} sejam funções com valores vetoriais, definidas em um intervalo, e \mathbf{R}^{\prime} seja diferenciável no intervalo. Prove que
D_{t}\left[\mathbf{R}^{\prime}(t) \cdot \mathbf{R}(t)\right]=\left\|\mathbf{R}^{\prime}(t)\right\|^{2}+\mathbf{R}(t) \cdot \mathbf{R}^{\prime \prime}(t)

Passo 1

O enunciado diz que \mathbf R(t) e \mathbf R'(t) são funções vetoriais definidas num intervalo, com \mathbf R'(t) diferenciável (logo \mathbf R''(t) existe). Precisamos mostrar que
D_{t}\bigl[\mathbf R'(t)\cdot \mathbf R(t)\bigr] =\|\mathbf R'(t)\|^{2}+\mathbf R(t)\cdot \mathbf R''(t).

Passo 2

O ingrediente principal é a regra do produto para o produto escalar de duas funções vetoriais. Sejam \mathbf u(t) e \mathbf v(t) diferenciáveis, então
\frac{d}{dt}\bigl[\mathbf u(t)\cdot \mathbf v(t)\bigr] =\mathbf u'(t)\cdot \mathbf v(t)+\mathbf u(t)\cdot \mathbf v'(t).

Passo 3

Aplicando essa regra com \mathbf u(t)=\mathbf R'(t) e \mathbf v(t)=\mathbf R(t), obtemos
\frac{d}{dt}\bigl[\mathbf R'(t)\cdot \mathbf R(t)\bigr] =\mathbf R''(t)\cdot \mathbf R(t)+\mathbf R'(t)\cdot \mathbf R'(t).
Como \mathbf R'(t)\cdot \mathbf R'(t)=\|\mathbf R'(t)\|^2, chega-mos à forma desejada.

Resposta

D_{t}\bigl[\mathbf R'(t)\cdot \mathbf R(t)\bigr] =\|\mathbf R'(t)\|^{2}+\mathbf R(t)\cdot \mathbf R''(t).

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