Ache uma equação cartesiana da curva que seja descrita pelo ponto final da representação posicional de \mathbf{R}^{\prime}(t). Ache \mathbf{R}(t) \cdot \mathbf{R}^{\prime}(t). Interprete o resultado geometricamente.
\mathbf{R}(t)=\operatorname{cosh} t \mathbf{i}-\operatorname{senh} t \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial \mathbf{R}(t)=\operatorname{cosh} t\,\mathbf{i}-\operatorname{sinh} t\,\mathbf{j}
e pede:
  1. Uma equação cartesiana da curva descrita por \mathbf{R}'(t).
  2. O escalar \mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t).
    Para isso, vamos primeiro achar \mathbf{R}'(t) e em seguida eliminar o parâmetro para obter a curva de \mathbf{R}'(t) e calcular o produto escalar.

Passo 2

Calculando a derivada componente a componente:
– Derivada de \operatorname{cosh} t é \operatorname{sinh} t.
– Derivada de -\operatorname{sinh} t é -\operatorname{cosh} t.
Logo,
\mathbf{R}'(t)=\operatorname{sinh} t\,\mathbf{i}-\operatorname{cosh} t\,\mathbf{j}.

Passo 3

Denotando as coordenadas da curva de \mathbf{R}'(t) por
x = \operatorname{sinh} t,\quad y = -\operatorname{cosh} t,
usamos a identidade hiperbólica \operatorname{cosh}^2t-\operatorname{sinh}^2t=1. Substituindo \operatorname{cosh} t=-y e \operatorname{sinh} t=x, obtemos
(-y)^2 - x^2 = 1 \quad\Longrightarrow\quad y^2 - x^2 = 1.

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar
\mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t) = (\operatorname{cosh} t)(\operatorname{sinh} t) + (-\operatorname{sinh} t)(-\operatorname{cosh} t) = 2\,\operatorname{sinh} t\,\operatorname{cosh} t = \operatorname{sinh}(2t).

Passo 5

Geometricamente, \mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t) mede a taxa de variação do quadrado da distância ao fundo de curva, pois
\frac{d}{dt}\bigl\|\mathbf{R}(t)\bigr\|^2 = 2\,\mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t).
Ou seja, esse escalar é duas vezes a componente radial da velocidade, mostrando como muda a distância ao ponto origem.

Resposta

A equação cartesiana é
y^2 - x^2 = 1,
e
\mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t) = \operatorname{sinh}(2t).

Exercícios relacionados