As linhas da matriz \boldsymbol{A} chamarei de \,R_1=(a_{11},a_{12},a_{13})\,,\;R_2=(a_{21},a_{22},a_{23})\,,\;R_3=(a_{31},a_{32},a_{33}).
As linhas de \boldsymbol{B} são, nessa ordem, 3R_1-2R_2,\;R_3,\;R_2.
Temos \operatorname{det}(\boldsymbol{A})=\operatorname{det}([R_1,R_2,R_3])=8.
O que se pede: calcular \operatorname{det}(\boldsymbol{B}) usando propriedades de determinantes.
Passo 2
Relembrando, com exemplos curtos, as propriedades de determinante que vamos usar (explicadas passo a passo, sem pular etapas):
Linearidade em uma linha: o determinante é linear em cada linha quando as outras ficam fixas. Isso quer dizer que, se uma linha é combinação linear de vetores, o determinante se distribui. Formalmente, para constantes \alpha,\beta e vetores de linha u,v,
Isto ilustra a linearidade: o determinante da combinação é a combinação dos determinantes.
Alternância (ou se duas linhas iguais): se uma matriz tem duas linhas iguais, o determinante vale zero. Motivo prático: trocar essas duas linhas não altera a matriz, mas trocar linhas muda o sinal do determinante; logo \det=\!-\det, portanto \det=0.
Troca de linhas altera o sinal: trocar duas linhas distintas troca o sinal do determinante. Assim, se trocamos duas linhas uma única vez, multiplicamos o determinante por -1.
Essas são propriedades suficientes para resolver nosso problema.]
Passo 3
Aplicando linearidade na primeira linha de \boldsymbol{B}: como a primeira linha é 3R_1-2R_2 e as outras linhas são R_3 e R_2 (fixas), temos
Relação entre \operatorname{det}([R_1,R_3,R_2]) e \operatorname{det}([R_1,R_2,R_3]): para obter [R_1,R_3,R_2] a partir de [R_1,R_2,R_3] basta trocar as linhas R_2 e R_3 uma vez. Pelo efeito da troca de linhas sobre o determinante,
Pronto — a conta foi direta graças à linearidade e à propriedade de troca/igualdade de linhas. Dá pra anotar isso rápido na prova: expandir pela linearidade na linha modificada e observar termos nulos quando aparecem linhas iguais; depois ajustar o sinal se for preciso por permutar linhas.