Sejam as matrizes
e
dadas por
(a) Calcule
.
(b) Calcule
e
.
(c) Verifique que
.
(b) Calcule
(c) Verifique que
Passo 1
O enunciado nos dá duas matrizes
:
As perguntas são:
(a) calcular ;
(b) calcular e
;
(c) verificar que .
(a) calcular
(b) calcular
(c) verificar que
Passo 2
Vamos primeiro lembrar como multiplicar duas matrizes
. Se
então cada entrada
de
é o produto escalar da linha
de
com a coluna
de
. Para
isso dá as fórmulas:
Aplicando essas fórmulas, a matriz produto é
Passo 3
Agora a definição de determinante para uma matriz
. Para
temos
Isso é uma fórmula padrão (pensa nela como a área orientada transformada pela matriz). Usando essa fórmula para
e
obtemos:
Passo 4
Agora vamos calcular
. Denotando as entradas do produto por
como no Passo 2, temos
Substituindo as expressões de
:
e
Observe que
e
, então alguns termos se cancelam na subtração
. Subtraindo termo a termo:
Agrupando termos por fatores comuns:
Note que
. Portanto
Mas os fatores são exatamente
e
. Logo
Passo 5
Resumo e verificação final: calculamos explicitamente
, aplicamos a fórmula do determinante
ao produto e, após simplificação algébrica cuidadosa, encontramos que o determinante do produto é o produto dos determinantes. Assim a igualdade pedida está verificada neste caso geral de matrizes
.
Resposta
(a)
(b)
(c)