Sejam as matrizes A e B dadas por
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right], \quad \text { e } \quad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ll} b_{11} & b_{12} \\\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right] .
(a) Calcule A B.
(b) Calcule \operatorname{det}(A), \operatorname{det}(B) e \operatorname{det}(A B).
(c) Verifique que \operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B).

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes 2\times2:
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right], \qquad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc} b_{11} & b_{12} \\\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right].
As perguntas são:
(a) calcular A B;
(b) calcular \det(A),\\ \det(B) e \det(A B);
(c) verificar que \det(A B)=\det(A)\det(B).

Passo 2

Vamos primeiro lembrar como multiplicar duas matrizes 2\times2. Se
\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B},
então cada entrada c_{ij} de \boldsymbol{C} é o produto escalar da linha i de \boldsymbol{A} com a coluna j de \boldsymbol{B}. Para 2\times2 isso dá as fórmulas:
\begin{aligned} c_{11} &= a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21},\\\ c_{12} &= a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22},\\\ c_{21} &= a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21},\\\ c_{22} &= a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}. \end{aligned}
Aplicando essas fórmulas, a matriz produto é
\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}= \left[\begin{array}{cc} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{array}\right].

Passo 3

Agora a definição de determinante para uma matriz 2\times2. Para
\boldsymbol{M}=\left[\begin{array}{cc}m_{11}&m_{12}\\\ m_{21}&m_{22}\end{array}\right],
temos
\det(\boldsymbol{M})=m_{11}m_{22}-m_{12}m_{21}.
Isso é uma fórmula padrão (pensa nela como a área orientada transformada pela matriz). Usando essa fórmula para \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} obtemos:
\det(\boldsymbol{A})=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}, \qquad \det(\boldsymbol{B})=b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21}.

Passo 4

Agora vamos calcular \det(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}). Denotando as entradas do produto por c_{ij} como no Passo 2, temos
\det(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})=c_{11}c_{22}-c_{12}c_{21}.
Substituindo as expressões de c_{ij}:
\begin{aligned} c_{11}c_{22} &= (a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})\\[4pt] &= a_{11}a_{21}b_{11}b_{12}+a_{11}a_{22}b_{11}b_{22}+a_{12}a_{21}b_{21}b_{12}+a_{12}a_{22}b_{21}b_{22}, \end{aligned}
e
\begin{aligned} c_{12}c_{21} &= (a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22})(a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21})\\[4pt] &= a_{11}a_{21}b_{12}b_{11}+a_{11}a_{22}b_{12}b_{21}+a_{12}a_{21}b_{22}b_{11}+a_{12}a_{22}b_{22}b_{21}. \end{aligned}
Observe que b_{11}b_{12}=b_{12}b_{11} e b_{21}b_{22}=b_{22}b_{21}, então alguns termos se cancelam na subtração c_{11}c_{22}-c_{12}c_{21}. Subtraindo termo a termo:
\begin{aligned} \det(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) &= \bigl(a_{11}a_{21}b_{11}b_{12}+a_{11}a_{22}b_{11}b_{22}+a_{12}a_{21}b_{21}b_{12}+a_{12}a_{22}b_{21}b_{22}\bigr)\\\ &\quad -\bigl(a_{11}a_{21}b_{12}b_{11}+a_{11}a_{22}b_{12}b_{21}+a_{12}a_{21}b_{22}b_{11}+a_{12}a_{22}b_{22}b_{21}\bigr)\\[4pt] &= a_{11}a_{22}b_{11}b_{22}+a_{12}a_{21}b_{21}b_{12}-a_{11}a_{22}b_{12}b_{21}-a_{12}a_{21}b_{22}b_{11}. \end{aligned}
Agrupando termos por fatores comuns:
\begin{aligned} \det(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) &= a_{11}a_{22}\bigl(b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21}\bigr) + a_{12}a_{21}\bigl(b_{21}b_{12}-b_{22}b_{11}\bigr). \end{aligned}
Note que b_{21}b_{12}-b_{22}b_{11}=-(b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21}). Portanto
\begin{aligned} \det(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) &= a_{11}a_{22}\bigl(b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21}\bigr) - a_{12}a_{21}\bigl(b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21}\bigr)\\[4pt] &= \bigl(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\bigr)\bigl(b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21}\bigr). \end{aligned}
Mas os fatores são exatamente \det(\boldsymbol{A}) e \det(\boldsymbol{B}). Logo
\det(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})=\det(\boldsymbol{A})\det(\boldsymbol{B}).]

Passo 5

Resumo e verificação final: calculamos explicitamente \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}, aplicamos a fórmula do determinante 2\times2 ao produto e, após simplificação algébrica cuidadosa, encontramos que o determinante do produto é o produto dos determinantes. Assim a igualdade pedida está verificada neste caso geral de matrizes 2\times2.

Resposta

(a) \displaystyle \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} \end{array}\right]
(b) \displaystyle \det(\boldsymbol{A})=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}
\displaystyle \det(\boldsymbol{B})=b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21}
\displaystyle \det(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})=(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})(b_{11}b_{22}-b_{12}b_{21})
(c) \displaystyle \det(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})=\det(\boldsymbol{A})\det(\boldsymbol{B})

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