Suponha que o motor da questão anterior seja alimentado por um gerador de corrente contínua excitação independente e com as seguintes características: \mathrm{P}_{\mathrm{N}}=1200 \mathrm{~kW}, \mathrm{U}_{\mathrm{AN}}= 600 \mathrm{~V}, \mathrm{R}_{\mathrm{AN}}=0,01 \Omega, \mathrm{n}_{\mathrm{N}}=1800 \mathrm{rpm}, \mathrm{U}_{\mathrm{ex}}=220 \mathrm{~V} (nominal) e \mathrm{l}_{\mathrm{ex}}=55 \mathrm{~A} (nominal). O gerador é acionado por um motor de indução trifásico, o qual gira à velocidade de 1770 rpm em qualquer situação. A cablagem de ligação possui resistência desprezível. Considerando a curva de saturação anterior, o motor de indução possua um rendimento de 0,85 nas condições citadas, calcule:
a) a corrente nominal do gerador;
b) a sua constante V;
c) a corrente de excitação do gerador em Ampères para que se tenha as mesmas condições do item C da questão anterior.
d) se a excitação do gerador é a nominal, qual é a velocidade desenvolvida pelo motor C.C. em rpm, se sua carga é a nominal?
e) qual o rendimento do conjunto motor de indução - gerador - C.C. - motor C.C. - carga para as condições do item k da questão anterior.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que se pede. (Anotei também o que está faltando para poder calcular tudo numericamente.)
Dados fornecidos:
  • Potência nominal do gerador: P_N = 1200\\ \mathrm{kW}.
  • Tensão nominal do enrolamento (terminals) do gerador: U_{AN} = 600\\ \mathrm{V}.
  • Resistência de armadura do gerador: R_{AN} = 0{,}01\\ \Omega.
  • Velocidade nominal do gerador: n_N = 1800\\ \mathrm{rpm}.
  • Excitação nominal do gerador: tensão U_{ex}=220\\ \mathrm{V} (sistema de excitação independente) e corrente I_{ex}=55\\ \mathrm{A} (nominal).
  • O gerador é acionado por um motor de indução trifásico que gira a 1770\\ \mathrm{rpm} em qualquer situação.
  • Resta desprezível a resistência da cablagem de ligação.
  • Foi mencionada uma curva de saturação anterior (curva \Phi versus I_{ex}), que não foi enviada aqui.
O enunciado pede:
a) A corrente nominal do gerador.
b) A sua constante V (constante de tensão/emissão).
c) A corrente de excitação do gerador (em ampères) para que se tenham as mesmas condições do item C da questão anterior.
d) Se a excitação do gerador for a nominal, qual é a velocidade desenvolvida pelo motor CC em rpm, se sua carga é a nominal?
e) O rendimento do conjunto motor de indução — gerador — CC — motor CC — carga para as condições do item k da questão anterior.
Informações que faltam (necessárias para calcular numericamente alguns itens):
  • A curva de saturação \Phi(I_{ex}) (muito importante para relacionar corrente de excitação com fluxo no entreferro).
  • Os dados do “item C” e do “item k” da questão anterior (esses itens parecem conter valores de tensão/fluxo/torque ou cargas do motor CC que são usados diretamente aqui).
  • Parâmetros do motor CC (resistência do armadura R_a, constantes eletromecânicas k_e,k_t, e dados da carga mecânica nominal) — presumivelmente estavam na questão anterior.
  • Perdas mecânicas do gerador, perdas no núcleo, e outras perdas que possam ser necessárias para calcular eficiências numéricas.
Conclusão do passo: com os dados fornecidos aqui eu consigo calcular (a) e (b) numericamente; para (c), (d) e (e) preciso dos dados que estão na questão anterior e da curva de saturação. A seguir eu mostro como calcular cada item passo a passo, o que fazer na prova e onde exatamente faltam dados.

Passo 2

Resolução de (a): corrente nominal do gerador — ideia e fórmula.
Conceito básico (muito usado em prova): se um gerador fornece potência elétrica P_N em suas placas a uma tensão U_{AN}, a corrente de armadura nominal (corrente elétrica fornecida pela armadura) é, supondo corrente contínua e potência em regime estacionário,
I_{AN}=\frac{P_N}{U_{AN}}.
Explicando cada variável:
  • P_N é a potência elétrica entregue (em watts).
  • U_{AN} é a tensão nos terminais do gerador (em volts).
  • I_{AN} é a corrente nos terminais (em ampères).
Cálculo numérico usando os dados:
I_{AN}=\frac{1200\\ \mathrm{kW}}{600\\ \mathrm{V}}=\frac{1200\times10^3}{600}=2000\\ \mathrm{A}.
Observações didáticas:
  • Esta fórmula assume que P_N é a potência elétrica entregue aos terminais (ou seja, já é potência útil que sai do gerador). Se P_N fosse potência mecânica no eixo, teríamos que dividir pelo rendimento do gerador; sempre confirme no enunciado.
  • Em prova, se houver menção a fator de potência ou cargas reativas, para máquinas CC normalmente consideramos potência ativa apenas, então a relação é direta como acima.

Passo 3

Resolução de (b): constante V do gerador — o que é e como calcular.
O que normalmente significa "constante V" neste contexto (máquina CC com excitação independente):
  • A fem induzida no enrolamento de armadura, em regime estacionário, é dada por
E = k_e\,\Phi\,n,
onde:
  • E é a força eletromotriz induzida (em volts) no eixo (fem interna, sem queda ôhmica),
  • k_e é uma constante geométrica que converte produto fluxo-velocidade em volts (unidade depende de n em rpm ou rad/s),
  • \Phi é o fluxo por polo (unidade arbitrária proporcional ao fluxo magnético),
  • n é a velocidade de rotação (em rpm, se k_e for adequado para rpm).
Para o gerador, a relação entre a fem interna E e a tensão terminal U_{AN} com a queda ôhmica é
E = U_{AN} + I_{AN} R_{AN},
porque o gerador, ao fornecer corrente, tem uma queda na armadura I_{AN}R_{AN}.
A constante V pedida provavelmente é a constante de tensão por rotação numa convenção simples, isto é
V \equiv \frac{E}{n_N}.
(é a fem por rpm para a condição de excitação considerada quando se obtiver E a n_N.)
Cálculo com números:
  • Primeiro calculo E na condição nominal:
E = U_{AN} + I_{AN}R_{AN} = 600\\ \mathrm{V} + 2000\\ \mathrm{A}\cdot0{,}01\\ \Omega = 600 + 20 = 620\\ \mathrm{V}.
  • Agora a constante (por rpm) será
V=\frac{E}{n_N}=\frac{620}{1800}=0{,}3444\\ \mathrm{V/rpm}\quad(\text{aprox. }0{,}3444).
Interpretação prática:
  • Se a excitação (fluxo) se mantiver fixa, a fem escala praticamente linear com a velocidade; então essa constante permite estimar a fem para qualquer outra velocidade pelas proporções.
  • Atenção: essa constante depende do fluxo \Phi usado quando se calculou E. Se mudar a corrente de excitação (no saturado ou não saturado), V alterará proporcionalmente ao fluxo resultante.

Passo 4

Resolução de (c): corrente de excitação necessária para reproduzir as mesmas condições do item C da questão anterior — método (não é possível dar número sem os dados faltantes).
O que se precisa entender e fazer na prova:
  1. A condição “mesmas condições do item C” provavelmente significa reproduzir o mesmo fluxo \Phi_{\text{C}}, ou a mesma fem induzida E_{\text{C}}, ou a mesma tensão terminal sob determinada carga. É necessário saber explicitamente o que o item C fixava (por exemplo: mesma tensão terminal, mesma corrente de armadura, mesmo fluxo, mesma velocidade, etc.). Sem isso não dá para prosseguir numericamente.
  2. Relacionamentos fundamentais que vamos usar: E = k_e \,\Phi \, ne, para o gerador, U_{AN}=E - I_{AN} R_{AN}\quad\text{(ou }E=U_{AN}+I_{AN}R_{AN}\text{, dependendo do sinal adotado).}
  3. A curva de saturação \Phi(I_{ex}) (que não foi enviada) é indispensável para converter um fluxo \Phi desejado em uma corrente de excitação I_{ex}. Na prática:
    • Determinar o \Phi necessário a partir de E e n: \Phi = \dfrac{E}{k_e n}. Aqui k_e é a constante geométrica (pode ser obtida de V calculado em (b) juntamente com o \Phi conhecido na condição nominal);
    • Consultar a curva \Phi(I_{ex}) para achar I_{ex} que corresponde a esse \Phi.
  4. Complicação prática: quando a máquina fornece grande corrente de armadura, ocorre reação de armadura (demagnetização) que reduz o fluxo efetivo; então a corrente de excitação necessária costuma ser maior do que a indicada pela curva sem armadura. Para incorporar a armadura, usa-se modelo: \Phi_{\text{efetiva}}=\Phi(I_{ex}) - k_{ar} I_{AN},onde k_{ar} é um coeficiente de armadura (só conhecido se houver dados ou ensaios). Assim, a corrente I_{ex} necessária é obtida resolvendo \Phi(I_{ex}) - k_{ar} I_{AN} = \frac{E_{\text{desejada}}}{k_e n}.
  5. Conclusão: sem o enunciado do item C (que define E_{\text{desejada}}, I_{AN} naquela condição, ou o fluxo desejado) e sem a curva \Phi(I_{ex}) não é possível calcular numericamente I_{ex}. Na prova, siga os passos acima: encontre E, calcule \Phi, consulte a curva, corrija por reação de armadura se necessário e leia I_{ex}.

Passo 5

Resolução de (d): velocidade do motor CC quando a excitação do gerador é a nominal e a carga do motor CC é a nominal — método (dados faltantes).
Entendimento do circuito e do que se usa:
  • O gerador alimenta o motor CC por sua tensão terminal U_{gen}. Se a excitação do gerador for nominal e o gerador for girado a 1770\\ \mathrm{rpm} (pelo motor de indução), o valor da fem interna do gerador muda proporcionalmente à velocidade e ao fluxo. Com excitação nominal a fluxo é \Phi_{\text{nom}}, então E_{gen} = (k_e \Phi_{\text{nom}}) n_{\text{drive}} = V_{\text{por rpm}}\cdot n_{\text{drive}},onde V_{\text{por rpm}} obtido em (b) foi calculado para a condição nominal de fluxo. O terminal do gerador (tensão disponível para o motor CC) será U_{gen} = E_{gen} - I_{AN} R_{AN},com I_{AN} sendo a corrente entregada ao motor CC na carga nominal (que depende do torque/condição do motor CC).
  • Para o motor CC, equações fundamentais em regime estacionário: E_m = k_{e,m}\Phi_m n_m,
T = k_{t,m}\Phi_m I_{a},
U_{gen} = E_m + I_a R_a,
onde:
  • E_m é a fem de armadura do motor CC,
  • k_{e,m},k_{t,m} são constantes do motor CC (ou usam a mesma constante se unidades coerentes),
  • \Phi_m é o fluxo do motor CC (se razão de excitação independente, pode ser conhecida),
  • n_m é a velocidade do motor CC (o que nos pedem),
  • T é o torque de carga nominal,
  • I_a é a corrente de armadura do motor CC e R_a sua resistência.
Procedimento (o que fazer na prova) para encontrar n_m:
  1. Obter U_{gen} como explicado (usa n_{\text{drive}}=1770\\ \mathrm{rpm}, V de (b), e a queda I_{AN}R_{AN}). Mas para saber I_{AN} nesta situação tem que conhecer a corrente do motor CC sob carga nominal (isto é, a corrente correspondente ao torque nominal do motor CC).
  2. Do torque de carga nominal T_{nom} do motor CC, obter a corrente necessária: I_a = \frac{T_{nom}}{k_{t,m}\Phi_m}.
  3. Substituir I_a na equação da fem do motor: n_m = \frac{U_{gen} - I_a R_a}{k_{e,m}\Phi_m}.
  4. Resultado: n_m em rpm. Tudo depende de T_{nom}, R_a, k_{e,m}, k_{t,m}, \Phi_m e da tensão U_{gen} que se obtém do gerador em 1770\\ \mathrm{rpm}.
Conclusão: não é possível fornecer valor numérico para n_m porque faltam os parâmetros do motor CC (resistência de armadura, constantes eletromecânicas), o torque de carga nominal (presumivelmente no item anterior) e a curva \Phi(I_{ex}) se precisarmos corrigir o fluxo do gerador. Na prova, siga o procedimento algébrico acima e substitua os números fornecidos no enunciado anterior.

Passo 6

Resolução de (e): rendimento do conjunto — método e expressões (não é possível dar número sem os dados do item k e outras perdas).
Estratégia geral:
  • O rendimento do conjunto pode ser definido como
\eta_{\text{total}}=\frac{P_{\text{útil na carga}}}{P_{\text{disponibilizado à entrada do motor de indução}}}.úàçã
  • Se conhecermos potências e rendimentos parciais, o rendimento total pode ser expresso como produto dos rendimentos sucessivos:
\eta_{\text{total}}=\eta_{mi}\times\eta_{g}\times\eta_{trans}\times\eta_{mc},
onde:
  • \eta_{mi} é o rendimento do motor de indução (fornecido: 0{,}85 nas condições citadas);
  • \eta_{g} é o rendimento do gerador (a definir a partir das perdas elétricas I^2R_{AN}, perdas de excitação U_{ex}I_{ex}, perdas mecânicas e perdas no núcleo);
  • \eta_{trans} representa perdas de transmissão elétrica/cablagem (aqui desprezíveis segundo enunciado);
  • \eta_{mc} é o rendimento do motor CC (obtido a partir das perdas do motor CC: I_a^2 R_a, perdas de campo, perdas mecânicas, etc.).
  • Forma prática de cálculo em prova (passo a passo):
    1. Calcular a potência mecânica que o motor de indução entrega ao eixo do gerador: P_{mech\_eixo}=\frac{P_{\text{entrada do motor de indução}}}{\eta_{mi}}.çãSe o enunciado der apenas a potência elétrica fornecida ao motor de indução, aplica-se o rendimento fornecido. Aqui foi dado apenas \eta_{mi}=0{,}85.
    2. Do lado do gerador, calcular a potência elétrica entregue aos terminais: P_{out,g} = P_{mech\_eixo} - P_{\text{perdas mecânicas do gerador}}.âOu, de uma forma prática: \eta_g = \frac{P_{out,g}}{P_{mech\_eixo}} = \frac{U_{AN} I_{AN}}{P_{mech\_eixo}}.Para calcular \eta_g numericamente precisa-se conhecer perdas (cobre de armadura I^2 R_{AN}, perdas de excitação U_{ex}I_{ex}, perdas no circuito magnético e mecânicas).
    3. O motor CC recebe P_{in,mc}=U_{AN} I_{AN} menos perdas de cablagem (desprezíveis). Do motor CC até a carga há perdas internas; o rendimento do motor CC é \eta_{mc} = \frac{P_{\text{útil na carga}}}{P_{in,mc}}.ú
    4. Finalmente, \eta_{\text{total}}=\eta_{mi}\cdot\eta_g\cdot\eta_{mc}.
  • Conclusão: para dar um número é preciso conhecer (além do que já foi dado) as perdas do gerador e do motor CC e os valores de potência/torque do item k. Como o item k da questão anterior não foi fornecido, não é possível calcular numericamente o rendimento total pedido.

Resposta

a) I_{AN}=2000\\ \mathrm{A}
b) V=\dfrac{E}{n_N}=\dfrac{620}{1800}=0{,}3444\\ \mathrm{V/rpm} (aprox.)
c) Impossível calcular numericamente — falta a curva de saturação \Phi(I_{ex}) e os dados do item C da questão anterior (fluxo ou fem desejada e possível correção por reação de armadura).
d) Impossível calcular numericamente — falta a tensão terminal disponível ao motor CC (depende da excitação e da velocidade do gerador), e faltam os parâmetros do motor CC e o torque/condição de carga nominal (provavelmente no item anterior).
e) Impossível calcular numericamente — falta o item k da questão anterior (potência/condição de carga) e informações sobre perdas do gerador e do motor CC; o rendimento total se obtém por \eta_{\text{total}}=\eta_{mi}\cdot\eta_g\cdot\eta_{mc} com \eta_{mi}=0{,}85 e \eta_g,\eta_{mc} calculados a partir das perdas.

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