Um motor de corrente contínua apresenta os seguintes dados nominais: \mathrm{P}_{\mathrm{N}}=48,2 \mathrm{~kW}, \mathrm{U}_{\text {AN }} =600 \mathrm{~V}, \mathrm{R}_{\mathrm{AN}}=0,1 \Omega, \mathrm{n}_{\mathrm{N}}=1000 \mathrm{rpm}, \eta_{\mathrm{N}}=0,90. A curva de saturação é a mesma mostrada em exercício anterior. Supondo que este motor possua excitação série, calcule:
a) o conjugado máximo que o motor poderá fornecer, a potência mecânica e a elétrica, quando a velocidade é 80 \% da nominal e a tensão aplicada ao motor é 90 \% da nominal?
b) qual a tensão de armadura a ser aplicada ao motor, a potência mecânica entregue e a elétrica absorvida da rede, se \mathrm{n}=0,8 \mathrm{n} e o conjugado da carga igual a 1,2 \mathrm{M}_{\mathrm{N}}.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede (tirei todos os números do enunciado):
  • Dados nominais:
    • Potência nominal (mecânica) \mathrm{P}_{\mathrm{N}} = 48{,}2\\ \mathrm{kW}.
    • Tensão nominal aplicada \mathrm{U}_{\mathrm{AN}} = 600\\ \mathrm{V}.
    • Resistência total de armadura/serie \mathrm{R}_{\mathrm{AN}} = 0{,}1\\ \Omega.
    • Velocidade nominal \mathrm{n}_{\mathrm{N}} = 1000\\ \mathrm{rpm}.
    • Rendimento nominal \eta_{\mathrm{N}} = 0{,}90.
  • Informação adicional: “a curva de saturação é a mesma mostrada em exercício anterior”. Ou seja, para relacionar fluxo magnético \varphi com corrente de excitação I (no motor série \,I_f = I_a), é necessário conhecer essa curva de saturação.
  • O motor é de excitação série (campo em série com a armadura), então \,I_f = I_a.
O enunciado pede:
a) Para \,n = 0{,}8\,n_{\mathrm{N}} e \,U = 0{,}9\,U_{\mathrm{AN}}: calcular o conjugado máximo que o motor poderá fornecer e também a potência mecânica e a potência elétrica correspondentes.
b) Para \,n = 0{,}8\,n_{\mathrm{N}} e carga com conjugado igual a 1{,}2\,M_{\mathrm{N}}: determinar a tensão de armadura a aplicar ao motor, a potência mecânica entregue e a potência elétrica absorvida da rede.
Observação importante: para obter resultados numéricos em ambas as partes é necessária a curva de saturação \varphi(I) (ou a forma funcional de k\varphi(I)). Essa curva não foi enviada nesta pergunta; se não for fornecida não é possível determinar numericamente a relação fluxo–corrente e, portanto, não é possível calcular valores numéricos finais para os itens que dependem dela. Abaixo vou:
  • fazer todos os desenvolvimentos teóricos e apresentar o procedimento numérico passo a passo que deve ser seguido,
  • calcular todos os valores que podem ser obtidos sem a curva (informações nominais derivadas),
  • explicar exatamente onde a curva é necessária e como usá‑la para obter os resultados finais.

Passo 2

Relembrando as equações fundamentais do motor CC série (forma e significado das grandezas — aula rápida):
  • Corrente de armadura/excitação: I_a (no série I_f=I_a).
  • Tensão aplicada à máquina: U.
  • Queda ôhmica total na linha série (armadura + enrolamento de campo, caso a resistência dada seja essa soma): R_{A} (aqui \mathrm{R}_{\mathrm{AN}}).
  • Força eletromotriz induzida (tensão contra‑eletromotriz): e.
  • Velocidade angular: \omega = \dfrac{2\pi n}{60}.
  • Constante de máquina (mesma nas equações de torque e de f.e.m.): k. O produto k\varphi aparece frequentemente e é o que efetivamente determina f.e.m. e torque.
    Equações:
  1. Equação do circuito: U = I_a R_A + e.
  2. f.e.m.: e = k\,\varphi(I_a)\,\omega.
  3. Torque eletromagnético: M = k\,\varphi(I_a)\,I_a.
  4. Potência mecânica desenvolvida no eixo (a partir do torque eletromagnético menos perdas mecânicas): aqui vamos distinguir potências:
    • Potência elétrica absorbida da rede: P_{\text{el}} = U \, I_a.
    • Perda ôhmica (cobre) total: P_{\text{cu}} = I_a^2 R_A.
    • Potência no entreferro (ou potência convertida pelo campo, às vezes chamada de potência de ar‑gap): P_{\text{ag}} = P_{\text{el}} - P_{\text{cu}} = e\,I_a = k\varphi(I_a)\,\omega\,I_a.
    • Potência mecânica disponível no eixo (saída) \;P_m\; é P_{\text{ag}} menos as perdas mecânicas (atrito, vento, perdas ferromagnéticas). Se não se conhece o detalhe das perdas, usa‑se o rendimento nominal para relacionar entrada e saída: P_m = \eta\,P_{\text{el}} \quad\text{(no ponto nominal)}.
Comentário didático: a função \varphi(I_a) é fornecida pela curva de magnetização/saturação; quando o campo está saturado \varphi cresce pouco com I_a, afetando torque e f.e.m. num comportamento não linear.

Passo 3

Cálculos que podem ser feitos já com os dados nominais (isso nos dá constantes úteis que serão usadas no procedimento):
  1. Potência elétrica nominal (entrada): P_{\text{el},N} = \dfrac{P_N}{\eta_N}.
Substituindo: P_{\text{el},N} = \dfrac{48{,}2\\ \text{kW}}{0{,}90} = 53{,}555{,}5\\ \text{W} \approx 53{,}555{,}6\\ \text{W}.
  1. Corrente nominal: I_N = \dfrac{P_{\text{el},N}}{U_{AN}} = \dfrac{53{,}555{,}6}{600} \approx 89{,}259\\ \text{A}.
  2. Velocidade angular nominal: \omega_N = \dfrac{2\pi n_N}{60} = \dfrac{2\pi\cdot 1000}{60} = \dfrac{100\pi}{3}\\ \text{rad/s}\approx 104{,}7198\\ \text{rad/s}.
  3. Queda ôhmica nominal (cu loss): P_{\text{cu},N} = I_N^2 R_A \approx (89{,}259)^2 \cdot 0{,}1 \approx 796{,}70\\ \text{W}.
  4. Potência convertida (ar‑gap) nominal: P_{\text{ag},N} = P_{\text{el},N} - P_{\text{cu},N} \approx 53{,}555{,}6 - 796{,}7 = 52{,}758{,}9\\ \text{W}.
  5. Torque eletromagnético nominal (torque no entreferro): M_{\text{em},N} = \dfrac{P_{\text{ag},N}}{\omega_N}.
Substituindo: M_{\text{em},N} \approx \dfrac{52{,}758{,}9}{104{,}7198} \approx 503{,}97\\ \text{N}\cdot\text{m}.
Observação: esse é o torque eletromagnético associado à potência convertida, maior que o torque mecânico útil se houver perdas mecânicas. Note que o torque mecânico útil M_N calculado por M_N = P_N/\omega_N daria um valor menor ( \approx 460{,}37\\ \text{N}\cdot\text{m}) porque parte da potência convertida é dissipada em perdas mecânicas.
  1. Constante combinada k\varphi no ponto nominal (produto que entra nas fórmulas de f.e.m. e torque):
  • A partir da f.e.m. nominal: k\phi_N = \dfrac{e_N}{\omega_N},\quad e_N = U_{AN} - I_N R_A.
Calcule e_N: e_N = 600 - 89{,}259\cdot 0{,}1 \approx 600 - 8{,}9259 = 591{,}0741\\ \text{V}.
Então k\phi_N \approx \dfrac{591{,}0741}{104{,}7198} \approx 5{,}645\\ \text{(unidades V·s/rad ou N·m/A conforme o contexto)}.
  • Verificação com torque: k\phi_N = \dfrac{M_{\text{em},N}}{I_N} \approx \dfrac{503{,}97}{89{,}259}\approx 5{,}645,
o que confirma a consistência (usando potência de ar‑gap).
Resumo numérico útil (arredondando razoavelmente):
  • I_N \approx 89{,}26\\ \mathrm{A}.
  • \omega_N \approx 104{,}72\\ \mathrm{rad/s}.
  • M_{\text{em},N} \approx 503{,}97\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • k\phi_N \approx 5{,}645 (unidade compatível com as equações acima).

Passo 4

Procedimento geral (numérico/algorítmico) para resolver a parte (a). Aqui eu descrevo passo a passo como obter o conjugado máximo, Pm e Pel para os dados pedidos assim que a curva de saturação \varphi(I) estiver disponível.
Dados do enunciado da parte (a):
  • \;n = 0{,}8\,n_N \Rightarrow \omega = 0{,}8\,\omega_N.
  • \;U = 0{,}9\,U_{AN}.
Passos para calcular o ponto de operação e encontrar o conjugado máximo possível a essa velocidade/tensão:
  1. Fixe \omega = 0{,}8\,\omega_N e U = 0{,}9\,U_{AN} (valores numéricos: \omega = 0{,}8\cdot 104{,}7198\approx 83{,}7758\\ \mathrm{rad/s}, U = 540\\ \mathrm{V}).
  2. A equação elétrica para qualquer corrente I_a é: U = I_a R_A + k\,\varphi(I_a)\,\omega.
  • Nesta equação k\varphi(I_a) é obtido da curva de saturação: da curva de magnetização tem‑se \varphi em função de I; multiplicando por k obtém‑se o termo que aparece na f.e.m. e no torque.
  1. Reescreva a equação isolando a função que deve ser satisfeita: f(I_a) \equiv I_a R_A + k\varphi(I_a)\,\omega - U = 0.
  • Para achar o(s) possível(eis) valor(es) de I_a (ponto(s) de operação) resolva numericamente f(I_a)=0. Graficamente isso é a interseção da reta I_a R_A com a curva U - k\varphi(I_a)\,\omega.
  1. Para cada solução I_a encontrada calcule o torque correspondente por M(I_a) = k\varphi(I_a)\,I_a.
  2. Se a equação tiver várias soluções I_a (em máquinas não lineares isso pode ocorrer), o torque máximo possível a essa velocidade/tensão será o maior valor de M(I_a) dentre as soluções fisicamente admissíveis. Se houver apenas uma solução, então esse M é o torque que o motor realmente desenvolverá naquele ponto; o “conjugado máximo que o motor poderá fornecer” sob a restrição de velocidade e tensão pode ser interpretado como o maior M que satisfaça as equações (ou, em outro sentido prático, o máximo torque que ocorre durante um ensaio de variação de I mantida a tensão e velocidade — de novo é preciso a curva \varphi(I) para ver onde M(I) atinge máximo).
  3. Depois de obter M use: potência mecânica desenvolvida (no eixo) P_m = M\,\omega_{\text{sol}}\quad(\text{ou usar }P_m=\eta_{\text{local}}\,P_{\text{el}},\\ \text{se houver rendimento local}).
  4. Potência elétrica absorvida: P_{\text{el}} = U\,I_a.
Observação prática: para a busca numérica resolva f(I_a)=0 por método iterativo (Newton‑Raphson, bisecção, ou simples varredura): para cada candidato I_a calcule k\varphi(I_a) a partir da curva e avalie f(I_a). A curva de saturação é essencial nesse cálculo; sem ela não há como avaliar k\varphi(I_a) nem M(I_a).

Passo 5

Procedimento para a parte (b) — passo a passo e interpretação física. Dados da parte (b):
  • \;n = 0{,}8\,n_N \Rightarrow \omega = 0{,}8\,\omega_N.
  • Conjugado da carga: M_{\text{carga}} = 1{,}2\,M_N. Atenção: aqui M_N no enunciado pode referir‑se ao torque nominal útil M_N = P_N/\omega_N ou ao torque eletromagnético nominal; normalmente interpreta‑se M_N como o torque nominal no eixo (ou seja P_N/\omega_N). Use‑se o mesmo M_N usado no enunciado para definir 1{,}2,M_N — manter consistência com os dados fornecidos.
  • Queremos: tensão a aplicar U, potência mecânica entregue P_m e potência elétrica absorvida P_{\text{el}}.
Passos a seguir:
  1. Determine numericamente a corrente necessária I_a para satisfazer o torque pedido resolvendo a equação torque→corrente: M_{\text{carga}} = k\varphi(I_a)\,I_a.
  • Aqui novamente k\varphi(I_a) vem da curva de saturação. Essa equação é não linear em I_a porque \varphi depende de I_a.
  1. Uma vez encontrado I_a, calcule a tensão necessária a aplicar para manter a velocidade \omega:
U = I_a R_A + k\varphi(I_a)\,\omega.
  1. Potência mecânica entregue (útil no eixo): P_m = M_{\text{carga}}\,\omega.
  2. Potência elétrica absorvida da rede: P_{\text{el}} = U\,I_a.
  3. Verifique consistência com perdas: cobre I_a^2 R_A e potência convertida P_{\text{ag}} = e I_a = k\varphi(I_a)\omega I_a. A diferença entre P_{\text{ag}} e P_m fornece perdas mecânicas/ferro se necessário.
Comentário prático: sem a curva \varphi(I) não é possível resolver a equação do passo (1) para obter I_a e, consequentemente, não se pode calcular U, P_m e P_{\text{el}} numericamente. A curva é indispensável.

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (metodologia aplicada) — demonstrando com uma curva hipotética (apenas para mostrar o algoritmo). IMPORTANTE: abaixo é apenas uma ilustração do procedimento numérico; os números NÃO correspondem à curva real do exercício anterior (que não foi fornecida). Não use esses valores como resposta final para sua prova — substitua pela curva real quando a tiver.
(Procedimento ilustrativo)
  1. Suponha que a curva de saturação forneça k\varphi(I) como tabela ou função; para cada I calculamos f(I)=I R_A + k\varphi(I)\,\omega - U.
  2. Fazemos varredura de I de 0 até um valor grande (por exemplo 3–4 vezes I_N) e encontramos onde f(I)=0 (ou mudanca de sinal).
  3. Para cada solução I obtemos M(I)=k\varphi(I)I e escolhemos o maior M se houver várias soluções.
  4. Em (b) resolvemos k\varphi(I)I = 1{,}2 M_N (função não linear), usando, por exemplo, método de Newton ou tentativa e erro com interpolação na tabela \varphi(I).
Esse procedimento é o que eu aplicaria assim que você me enviar a curva de saturação (tabela ou figura digital).

Passo 7

Resumo do que pode e do que não pode ser entregue agora:
  • Posso calcular e já calculei várias constantes nominais úteis (corrente nominal, torque eletromagnético nominal, k\phi_N, etc.). Esses números ajudam a iniciar os cálculos e a verificar consistência.
  • Contudo, tanto a parte (a) quanto a parte (b) exigem conhecimen-to da curva de saturação \varphi(I) para:
    • relacionar fluxo com corrente ( k\varphi(I_a)),
    • resolver a equação elétrica U = I_a R_A + k\varphi(I_a)\omega,
    • ou a equação torque M = k\varphi(I) I.
  • Sem a curva não é possível fornecer os valores numéricos finais pedidos (conjugado máximo em (a), potências na (a) e (b), e a tensão em (b)). Inventar uma curva não é permitido; é preciso a curva real mencionada no enunciado anterior.
Se você quiser, eu posso:
  • (A) resolver numericamente imediatamente se você me enviar a tabela ou a imagem da curva de saturação \varphi(I) (ou k\varphi(I) em função de I);
  • (B) se preferir, mostrar um exemplo completo com uma curva hipotética escolhida (para treinar a técnica), mas enfatizo que não será o resultado do seu exercício real;
  • (C) eu também posso transformar o procedimento em um pequeno roteiro passo‑a‑passo para ser seguido numa calculadora ou numa planilha (Excel) — útil para fazer rápido na prova se tiver a curva.
Força — você já tem as fórmulas e o método. Se me mandar a curva de saturação (imagem, tabela ou função), eu calculo tudo passo a passo e te mostro os números finais certinhos.

Resposta

Impossível fornecer os resultados numéricos finais pedidos porque a curva de saturação \varphi(I) (necessária para relacionar fluxo e corrente no motor série) não foi enviada; sem essa curva não há como determinar k\varphi(I_a), resolver as equações U=I_aR_A+k\varphi(I_a)\omega e M=k\varphi(I_a)I_a nem obter os valores numéricos de conjugado máximo, potências e tensão solicitados.

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