Um motor de corrente contínua excitação independente apresenta os seguintes dados: \mathrm{P}_{\mathrm{N}}=325 \mathrm{~kW}, \mathrm{U}_{\mathrm{AN}}=500 \mathrm{~V}, \mathrm{n}_{\mathrm{N}}=1880 \mathrm{rpm}, \mathrm{R}_{\mathrm{AN}}=0,019 \Omega, \eta_{\mathrm{N}}=0,93. Calcule:
a) o conjugado e a corrente nominal;
b) as constantes \mathrm{C} \phi_{\mathrm{N}} e V;
c) tensão de armadura para \mathrm{n}=0,5 \mathrm{n}_{\mathrm{N}} e \mathrm{M}=0,75 \mathrm{M}_{\mathrm{N}};
d) velocidade para \mathrm{M}=0,5 \quad \mathrm{M}_{\mathrm{N}}, \quad \varphi=\phi_{\mathrm{N}} \in \mathrm{U}=\mathrm{U}_{\mathrm{AN}}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Potência nominal: P_{N}=325\\ \text{kW} (ou seja 325\,000\\ \text{W}).
    • Tensão de armadura nominal: U_{AN}=500\\ \text{V}.
    • Velocidade nominal: n_{N}=1880\\ \text{rpm}.
    • Resistência de armadura: R_{AN}=0{,}019\\ \Omega.
    • Rendimento nominal: \eta_{N}=0{,}93.
  • O enunciado pede:
    (a) o conjugado (torque mecânico nominal) e a corrente nominal de armadura;
    (b) as constantes C\phi_{N} e V (explicarei exatamente o que calculo e como interpretar);
    (c) a tensão de armadura U_A quando n=0{,}5\,n_{N} e M=0{,}75\,M_{N}, supondo excitação constante \varphi=\phi_{N};
    (d) a velocidade n para M=0{,}5\,M_{N} com \varphi=\phi_{N} e U=U_{AN}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (mini-aula rápida e prática):
  • Relação entre potência mecânica de saída, torque e velocidade angular: P_{out}=M\cdot \omega,onde P_{out} é potência mecânica entregue pelo eixo (em W), M é o torque (em N·m) e \omega é a velocidade angular (em rad/s).
  • Conversão entre n em rpm e \omega em rad/s: \omega = \frac{2\pi n}{60}.Vou usar isto para obter \omega_N a partir de n_N.
  • Para motor CC de excitação independente com fluxo constante \varphi:
    • Torque eletromagnético: M = C\varphi\; I_A,onde I_A é a corrente de armadura e C\varphi é a constante torque-por-corrente (unidade N·m/A).
    • Força contra-eletromotriz (f.c.e.) induzida: E = V\varphi\; \omega,onde V\varphi tem unidades V·s/rad (ou V/(rad/s)). Em muitos enunciados escreve-se simplesmente V sabendo-se que multiplica \varphi e \omega; aqui vamos calcular numericamente V\phi_{N} (ou seja V multiplicado por \phi_N), que é o que aparece numericamente sem conhecer \phi_N isoladamente.
    • Relação de tensões na armadura: U_A = E + I_A R_A.
  • Rendimento elétrico-mecânico: \eta_N = \frac{P_{out}}{P_{in}}\quad\Rightarrow\quad P_{in}=\frac{P_{out}}{\eta_N}.A potência elétrica de entrada (neglectando outros consumos) é P_{in}=U_A I_A (assumindo que a tensão U_A é aplicada na armadura).

Passo 3

Calcular potência de entrada nominal e a corrente nominal I_{AN}.
  • Potência de saída (dada): P_{out}=P_{N}=325\,000\\ \text{W}.
  • Potência de entrada nominal: P_{in}=\frac{P_{out}}{\eta_{N}}=\frac{325\,000}{0{,}93}=349\,462{,}3656\\ \text{W}.
  • Corrente de armadura nominal (assumindo P_{in}=U_{AN} I_{AN}): I_{AN}=\frac{P_{in}}{U_{AN}}=\frac{349\,462{,}3656}{500}=698{,}9247312\\ \text{A}.
Para a prova, pode arredondar a I_{AN}\approx 698{,}925\\ \text{A}.

Passo 4

Calcular a velocidade angular nominal \omega_{N} e o torque nominal M_{N}.
  • Converter n_N para \omega_N: \omega_{N}=\frac{2\pi n_{N}}{60}=\frac{2\pi\cdot 1880}{60}=196{,}3495408\\ \text{rad/s}.
  • Torque mecânico nominal usando P_{out}=M_{N}\omega_{N}: M_{N}=\frac{P_{out}}{\omega_{N}}=\frac{325\,000}{196{,}3495408}=1\,655{,}17181\\ \text{N·m}.
Arredondando: M_{N}\approx 1\,655{,}17\\ \text{N·m}.

Passo 5

Calcular a constante C\phi_{N} (torque por corrente com fluxo nominal) e a constante de f.c.e. na forma V\phi_{N} (pois somente o produto com \phi_N é numericamente determinável sem conhecer \phi_N isoladamente).
  • Pelo torque M_{N}=C\phi_{N}\,I_{AN}, tem-se: C\phi_{N}=\frac{M_{N}}{I_{AN}}=\frac{1\,655{,}17181}{698{,}9247312}=2{,}369091\\ \text{N·m/A}.
  • Calcular a f.c.e. nominal E_{N} pela equação de armadura E_{N}=U_{AN}-I_{AN}R_{AN}: E_{N}=500 - 698{,}9247312\cdot 0{,}019 = 500 - 13{,}2895699 = 486{,}7104301\\ \text{V}.
  • Então o produto V\phi_{N} (constante de tensão por velocidade com fluxo nominal) é: V\phi_{N}=\frac{E_{N}}{\omega_{N}}=\frac{486{,}7104301}{196{,}3495408}=2{,}478990\\ \text{V·s/rad}.
Observação didática: sem conhecer \phi_N isoladamente, não é possível obter V e \phi_N separadamente; o que se determina experimentalmente são os produtos C\phi_N e V\phi_N. Esses produtos são os que entram nas equações de máquina e são suficientes para as operações pedidas.

Passo 6

Resolver a alínea (c): tensão de armadura U_A para n=0{,}5\,n_{N} e M=0{,}75\,M_{N}, com \varphi=\phi_{N}.
  • Primeiro a nova velocidade angular: \omega = 0{,}5\,\omega_{N}=0{,}5\cdot 196{,}3495408=98{,}1747704\\ \text{rad/s}.
  • O torque pedido é M=0{,}75\,M_{N}. Pela proporcionalidade do torque com a corrente (com \varphi constante): I_A=\frac{M}{C\phi_{N}}=\frac{0{,}75\,M_{N}}{C\phi_{N}}=0{,}75\,\frac{M_{N}}{C\phi_{N}}=0{,}75\,I_{AN}.Assim: I_A=0{,}75\cdot 698{,}9247312=524{,}1935484\\ \text{A}.
  • A f.c.e. na nova velocidade: E = V\phi_{N}\,\omega = 2{,}478990\cdot 98{,}1747704 = 243{,}355215\\ \text{V}.
  • Finalmente, a tensão de armadura necessária: U_A = E + I_A R_{AN} = 243{,}355215 + 524{,}1935484\cdot 0{,}019 = 243{,}355215 + 9{,}9596774 = 253{,}3148924\\ \text{V}.
Arredondando: U_A\approx 253{,}315\\ \text{V}.

Passo 7

Resolver a alínea (d): velocidade n para M=0{,}5\,M_{N}, \varphi=\phi_{N} e U=U_{AN}.
  • Com M=0{,}5\,M_{N}, a corrente de armadura será: I_A=0{,}5\,I_{AN}=0{,}5\cdot 698{,}9247312=349{,}4623656\\ \text{A}.
  • A f.c.e. correspondente (pela equação U_A=E+I_AR_A, resolvendo para E): E = U_{AN} - I_A R_{AN} = 500 - 349{,}4623656\cdot 0{,}019 = 500 - 6{,}639784 = 493{,}360216\\ \text{V}.
  • A velocidade angular resultante: \omega = \frac{E}{V\phi_{N}} = \frac{493{,}360216}{2{,}478990} = 199{,}044087\\ \text{rad/s}.
  • Converter \omega para rpm: n = \frac{60\omega}{2\pi} = \frac{60\cdot 199{,}044087}{2\pi} = 1\,900{,}902\\ \text{rpm}.
Arredondando: n\approx 1\,900{,}90\\ \text{rpm}.

Resposta

(a) M_{N}=1\,655{,}17\\ \text{N·m}
(a) I_{AN}=698{,}925\\ \text{A}
(b) C\phi_{N}=2{,}36909\\ \text{N·m/A}
(b) V\phi_{N}=2{,}47899\\ \text{V·s/rad}
(c) U_A\approx 253{,}315\\ \text{V}
(d) n\approx 1\,900{,}90\\ \text{rpm}

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