Suponha que o movimento de um objeto no espaço está dado por
. e que a temperatura em um ponto qualquer é dada mediante a função
Determine os pontos na trajetória nos quais a taxa de variação da temperatura é máxima.
Determine os pontos na trajetória nos quais a taxa de variação da temperatura é máxima.
Passo 1
Nesse exercício temos a trajetória
e a temperatura
. O objetivo é encontrar os pontos em que a taxa
é máxima.
Passo 2
Para calcular a taxa de variação usamos a regra da cadeia:
Primeiro calculamos o gradiente de
Substituindo
Para achar os extremos, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
$$
D’(t)=2\cos t+\sin t+2=0.
t=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}
$$ corresponde a máximos locais.
Passo 3
Portanto, os pontos buscados na trajetória são dados por
Resposta
Os pontos em que a taxa de variação da temperatura é máxima são
, com
.