Suponha que o movimento de um objeto no espaço está dado por tilder(t)=lang<=cos t, sin t, trang<=. e que a temperatura em um ponto qualquer é dada mediante a função T(x, y, z)= x^2+y^2+z^2-2 x-y
Determine os pontos na trajetória nos quais a taxa de variação da temperatura é máxima.

Passo 1

Nesse exercício temos a trajetória tilder(t)=lang<=cos t,sin t,trang<= e a temperatura T(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2x-y. O objetivo é encontrar os pontos em que a taxa ddtT(tilder(t)) é máxima.

Passo 2

Para calcular a taxa de variação usamos a regra da cadeia:
ddtT(tilder(t))=nabla T(tilder(t))cdottilder'(t)
Primeiro calculamos o gradiente de T e a velocidade da trajetória:
nabla T(x,y,z)=lang<= 2x-2,,2y-1,,2zrang<=,
tilder'(t)=lang<= -sin t,,cos t,,1rang<=
Substituindo x=cos t, y=sin t, z=t em nabla T e fazendo o produto escalar, obtemos
ddtT(tilder(t))=2sin t-cos t+2t
Para achar os extremos, derivamos em relação a t e igualamos a zero:
$$
D’(t)=2\cos t+\sin t+2=0. D'(t)=2cos t+sin t+2=0çãíçõ
t=\pi+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}
$$ corresponde a máximos locais.

Passo 3

Portanto, os pontos buscados na trajetória são dados por
tilderl(pi+2pi kr)=lang<= -1,0,pi+2pi krang<=, kinZ

Resposta

Os pontos em que a taxa de variação da temperatura é máxima são
tilder(pi+2pi k)=lang<= -1,0,pi+2pi krang<=, com kinZ.

Exercícios relacionados