Suponha que o movimento de um objeto no espaço está dado por tilder(t)=lang<=cos t, sin t, trang<=. e que a temperatura em um ponto qualquer é dada mediante a função T(x, y, z)= x^2+y^2+z^2-2 x-y
Determine a taxa de variação da temperatura do objeto quando t=7 pi3.

Passo 1

Resumo: temos o movimento do objeto dado por tilde r(t)=lang<=cos t,sin t,trang<= e a temperatura no espaço definida por T(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2x-y. Queremos a taxa de variação ddtT(tilde r(t)) em t=tfrac7pi3. Vamos usar gradiente e regra da cadeia.

Passo 2

Teoria e gradiente: a regra da cadeia diz que ddtT(tilde r(t))=nabla T(tilde r(t))cdottilde r,'(t). Primeiro encontramos o gradiente de T. Como Tx=2x-2, Ty=2y-1 e Tz=2z, temos
Gradiente e derivada da trajetória: nabla T(x,y,z)=lang<=2x-2,,2y-1,,2zrang<=. E da trajetória tilde r(t)=lang<=cos t,sin t,trang<= vem tilde r,'(t)=lang<=-sin t,cos t,1rang<=.

Passo 3

Gradiente ao longo da curva: substituindo x=cos t, y=sin t, z=t em nabla T nabla T(tilde r(t))=lang<=2cos t-2,;2sin t-1,;2trang<=

Passo 4

Produto escalar geral: então ddtT(tilde r(t))=(2cos t-2)(-sin t)+(2sin t-1)(cos t)+(2t)(1)

Passo 5

Simplificação: note que (2cos t-2)(-sin t)+(2sin t-1)(cos t)=-2cos tsin t+2sin t+2sin tcos t-cos t=2sin t-cos t. Logo ddtT(tilde r(t))=2sin t-cos t+2t

Passo 6

Avaliação em t=7pi/3: usamos sin(7pi/3)=sin(pi/3)=tfracraiz32 e cos(7pi/3)=cos(pi/3)=tfrac12. Daí ddtTl(tilde r(7pi/3)r)=2cdottfracraiz32-tfrac12+2cdottfrac7pi3=raiz3-tfrac12+tfrac14pi3

Resposta

2sin t-cos t+2t avaliado em t=7pi/3 fica raiz3-tfrac12+tfrac14pi3.

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