Suponha que o movimento de um objeto no espaço está dado por
. e que a temperatura em um ponto qualquer é dada mediante a função
Determine a taxa de variação da temperatura do objeto quando
.
Determine a taxa de variação da temperatura do objeto quando
Passo 1
Resumo: temos o movimento do objeto dado por
e a temperatura no espaço definida por
. Queremos a taxa de variação
em
. Vamos usar gradiente e regra da cadeia.
Passo 2
Teoria e gradiente: a regra da cadeia diz que
. Primeiro encontramos o gradiente de
. Como
,
e
, temos
Gradiente e derivada da trajetória: . E da trajetória
vem
.
Gradiente e derivada da trajetória:
Passo 3
Gradiente ao longo da curva: substituindo
,
,
em
dá
Passo 4
Produto escalar geral: então
Passo 5
Simplificação: note que
. Logo
Passo 6
Avaliação em
: usamos
e
. Daí