Suponha um movimento unidimensional com aceleração (instantânea) constante.
a) Faça uso da definição de aceleração instantânea instantânea e do teorema fundamental do cálculo, para chegar a
v=v_{0}+a t
Indique o que significa cada símbolo nessa equação.
b) Empregue a definição de velocidade instantânea, o teorema fundamental do cálculo e a equação (9) para chegar a
x=x_{0}+v_{0}{ }^{\prime} t+\frac{1}{2} a t
Indique o que significa cada símbolo nessa equação.
c) Usando as equações (9) e (10), mostre que
v^{2}=v_{0}^{2}+2 a\left(x-x_{0}\right)

Passo 1

O enunciado diz: movimento unidimensional com aceleração (instantânea) constante. Pede três coisas:
  • (a) Usando a definição de aceleração instantânea e o teorema fundamental do cálculo, deduzir v = v_{0} + a t
e indicar o significado de cada símbolo nessa equação.
  • (b) Usando a definição de velocidade instantânea, o teorema fundamental do cálculo e a equação do item (a), deduzir x = x_{0} + v_{0} t + \tfrac{1}{2} a t^{2}
(eu interpretei que o termo pedido tem t^{2}, pois é a forma padrão) e indicar o significado de cada símbolo.
  • (c) Usando as equações obtidas em (a) e (b), mostrar que v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a (x - x_{0}).
Informações relevantes fornecidas e notação que vou usar:
  • A aceleração é constante: a(t)=a (constante).
  • Velocidade inicial no instante inicial (que tomamos como t=0) é v(0)=v_{0}.
  • Posição inicial no instante inicial é x(0)=x_{0}.
  • As definições que usaremos: aceleração instantânea a(t)=\dfrac{dv}{dt} e velocidade instantânea v(t)=\dfrac{dx}{dt}.
  • Usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F'\!=\!f então \int_{t_{0}}^{t} f(s)\,ds = F(t)-F(t_{0}). Em aplicações, integrar uma derivada recupera a função (diferença de valores).

Passo 2

Derivação do item (a). Começamos pela definição de aceleração instantânea:
a(t)=\frac{dv}{dt}.
Isto significa: aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo integrando ambos os lados entre t=0 e um tempo genérico t:
\int_{0}^{t} a(s)\,ds=\int_{0}^{t} \frac{dv}{dt}(s)\,ds.
No segundo integral, a integral da derivada da velocidade nos dá a diferença de velocidades (pela definição de integral de uma derivada):
\int_{0}^{t} \frac{dv}{dt}(s)\,ds = v(t)-v(0).
Como a aceleração é constante, a(s)=a e podemos tirar a da integral:
\int_{0}^{t} a\,ds = a\int_{0}^{t} 1\,ds = a\,(t-0)=a t.
Juntando, obtemos
v(t)-v(0)=a t.
Tomando v(0)=v_{0} e escrevendo v para v(t), fica
v = v_{0} + a t,
que é a equação pedida.

Passo 3

Explicação didática dos símbolos da equação do item (a):
  • \;v\; é a velocidade no instante genérico t (ou v(t)).
  • \;v_{0}\; é a velocidade inicial, isto é, a velocidade no instante t=0.
  • \;a\; é a aceleração constante do movimento (a taxa, em unidades de velocidade por tempo).
  • \;t\; é o intervalo de tempo decorrido desde o instante inicial t=0 até o instante em que avaliamos v.
    Unidades típicas: se a em \mathrm{m/s^{2}} e t em \mathrm{s}, então a t tem unidade \mathrm{m/s} e somável a v_{0}.

Passo 4

Derivação do item (b). Começamos pela definição de velocidade instantânea:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, integrando entre 0 e t temos
\int_{0}^{t} v(s)\,ds = \int_{0}^{t} \frac{dx}{dt}(s)\,ds = x(t)-x(0).
Portanto
x(t)=x(0)+\int_{0}^{t} v(s)\,ds.
Usamos agora a expressão de v(s) obtida no item (a): para qualquer instante s vale v(s)=v_{0}+a s. Substituindo:
x(t)=x_{0}+\int_{0}^{t} \bigl(v_{0}+a s\bigr)\,ds.
Agora calculamos a integral em partes (passo a passo):
  • \displaystyle \int_{0}^{t} v_{0}\,ds = v_{0}\,t, pois v_{0} é constante.
  • \displaystyle \int_{0}^{t} a s\,ds = a\int_{0}^{t} s\,ds = a\left[\tfrac{1}{2}s^{2}\right]_{0}^{t} = a\cdot \tfrac{1}{2} t^{2} = \tfrac{1}{2} a t^{2}.
    Somando as duas partes:
x(t)=x_{0} + v_{0} t + \tfrac{1}{2} a t^{2}.
Escrevendo de forma compacta:
x = x_{0} + v_{0} t + \tfrac{1}{2} a t^{2},
que é a equação pedida.

Passo 5

Explicação didática dos símbolos da equação do item (b):
  • \;x\; é a posição no instante t (ou x(t)).
  • \;x_{0}\; é a posição inicial no instante t=0.
  • \;v_{0}\; é a velocidade inicial (mesmo que no item (a)).
  • \;a\; é a aceleração constante.
  • \;t\; é o tempo decorrente desde t=0.
    Interpretação física: v_{0} t é a contribuição da velocidade inicial ao deslocamento, e \tfrac{1}{2} a t^{2} é a contribuição devido à aceleração (cresce com t^{2}).

Passo 6

Derivação do item (c) usando as equações (9) e (10), ou seja, usando
\text{(9)}\quad v = v_{0} + a t
e
\text{(10)}\quad x = x_{0} + v_{0} t + \tfrac{1}{2} a t^{2}.
Objetivo: eliminar t para obter uma relação entre v e x. Da equação (9) isolamos t:
t = \frac{v - v_{0}}{a},
supondo a\neq 0 (se a=0 a relação é trivial: v=v_{0} e x=x_{0}+v_{0}t e a fórmula final também vale). Substituímos esse t em (10). Primeiro escrevemos o deslocamento:
x - x_{0} = v_{0} t + \tfrac{1}{2} a t^{2}.
Agora substituímos t=\dfrac{v-v_{0}}{a}:
x - x_{0} = v_{0}\cdot\frac{v-v_{0}}{a} + \tfrac{1}{2} a\cdot\left(\frac{v-v_{0}}{a}\right)^{2}.
Simplificamos passo a passo. Multiplicando ambos os lados por a para eliminar denominadores:
a(x - x_{0}) = v_{0}(v-v_{0}) + \tfrac{1}{2} \frac{(v-v_{0})^{2}}{\,}.
(na segunda parcela, o a do numerador cancela um a^{2} do denominador, resultando em \tfrac{1}{2}(v-v_{0})^{2} dividido por a; para ficar completamente claro, reescrevo com cuidados:)
Voltando e calculando explicitamente a segunda parcela antes de multiplicar: \tfrac{1}{2} a \left(\frac{(v-v_{0})^{2}}{a^{2}}\right) = \tfrac{1}{2}\frac{(v-v_{0})^{2}}{a}.
Agora multiplicando ambos os lados por a obtém-se
a(x-x_{0}) = v_{0}(v-v_{0}) + \tfrac{1}{2}(v-v_{0})^{2}.
Expandimos o lado direito: primeiro expandir (v-v_{0})^{2}=v^{2}-2v v_{0}+v_{0}^{2}. Então
v_{0}(v-v_{0}) + \tfrac{1}{2}(v-v_{0})^{2} = v_{0}v - v_{0}^{2} + \tfrac{1}{2}v^{2} - v v_{0} + \tfrac{1}{2}v_{0}^{2}.
Agrupando termos semelhantes: os termos v_{0}v e -v v_{0} cancelam; os termos em v_{0}^{2} somam -v_{0}^{2} + \tfrac{1}{2}v_{0}^{2} = -\tfrac{1}{2}v_{0}^{2}. Portanto o lado direito fica
\tfrac{1}{2}v^{2} - \tfrac{1}{2}v_{0}^{2} = \tfrac{1}{2}\bigl(v^{2}-v_{0}^{2}\bigr).
Assim
a(x-x_{0}) = \tfrac{1}{2}\bigl(v^{2}-v_{0}^{2}\bigr).
Multiplicando ambos os lados por 2 e rearranjando:
v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a (x - x_{0}).
Isso é exatamente a relação pedida.

Resposta

(a) v = v_{0} + a t \;-\; \;v é a velocidade no tempo t, \;v_{0} é a velocidade inicial em t=0, \;a é a aceleração constante e \;t é o tempo desde t=0.\n
(b) x = x_{0} + v_{0} t + \tfrac{1}{2} a t^{2} \;-\; \;x é a posição no tempo t, \;x_{0} é a posição inicial em t=0, \;v_{0} é a velocidade inicial, \;a é a aceleração constante e \;t é o tempo desde t=0.\n
(c) v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a (x - x_{0})

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