Suponha um movimento unidimensional com aceleração (instantânea) constante.
a) Faça uso da definição de aceleração instantânea instantânea e do teorema fundamental do cálculo, para chegar a
Indique o que significa cada símbolo nessa equação.
b) Empregue a definição de velocidade instantânea, o teorema fundamental do cálculo e a equação (9) para chegar a
Indique o que significa cada símbolo nessa equação.
c) Usando as equações (9) e (10), mostre que
a) Faça uso da definição de aceleração instantânea instantânea e do teorema fundamental do cálculo, para chegar a
b) Empregue a definição de velocidade instantânea, o teorema fundamental do cálculo e a equação (9) para chegar a
c) Usando as equações (9) e (10), mostre que
Passo 1
O enunciado diz: movimento unidimensional com aceleração (instantânea) constante. Pede três coisas:
- (a) Usando a definição de aceleração instantânea e o teorema fundamental do cálculo, deduzir
e indicar o significado de cada símbolo nessa equação.
- (b) Usando a definição de velocidade instantânea, o teorema fundamental do cálculo e a equação do item (a), deduzir
(eu interpretei que o termo pedido tem
, pois é a forma padrão) e indicar o significado de cada símbolo.
- (c) Usando as equações obtidas em (a) e (b), mostrar que
Informações relevantes fornecidas e notação que vou usar:
- A aceleração é constante:
(constante). - Velocidade inicial no instante inicial (que tomamos como
) é . - Posição inicial no instante inicial é
. - As definições que usaremos: aceleração instantânea
e velocidade instantânea . - Usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo: se
então . Em aplicações, integrar uma derivada recupera a função (diferença de valores).
Passo 2
Derivação do item (a). Começamos pela definição de aceleração instantânea:
Isto significa: aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo integrando ambos os lados entre
e um tempo genérico
:
No segundo integral, a integral da derivada da velocidade nos dá a diferença de velocidades (pela definição de integral de uma derivada):
Como a aceleração é constante,
e podemos tirar
da integral:
Juntando, obtemos
Tomando
e escrevendo
para
, fica
que é a equação pedida.
Passo 3
Explicação didática dos símbolos da equação do item (a):
-
é a velocidade no instante genérico (ou ). -
é a velocidade inicial, isto é, a velocidade no instante . -
é a aceleração constante do movimento (a taxa, em unidades de velocidade por tempo). -
é o intervalo de tempo decorrido desde o instante inicial até o instante em que avaliamos .
Unidades típicas: seem e em , então tem unidade e somável a .
Passo 4
Derivação do item (b). Começamos pela definição de velocidade instantânea:
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, integrando entre
e
temos
Portanto
Usamos agora a expressão de
obtida no item (a): para qualquer instante
vale
. Substituindo:
Agora calculamos a integral em partes (passo a passo):
-
, pois é constante. -
Somando as duas partes:
Escrevendo de forma compacta:
que é a equação pedida.
Passo 5
Explicação didática dos símbolos da equação do item (b):
-
é a posição no instante (ou ). -
é a posição inicial no instante . -
é a velocidade inicial (mesmo que no item (a)). -
é a aceleração constante. -
é o tempo decorrente desde .
Interpretação física:é a contribuição da velocidade inicial ao deslocamento, e é a contribuição devido à aceleração (cresce com ).
Passo 6
Derivação do item (c) usando as equações (9) e (10), ou seja, usando
e
Objetivo: eliminar
para obter uma relação entre
e
. Da equação (9) isolamos
:
supondo
(se
a relação é trivial:
e
e a fórmula final também vale). Substituímos esse
em (10). Primeiro escrevemos o deslocamento:
Agora substituímos
:
Simplificamos passo a passo. Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores:
(na segunda parcela, o
do numerador cancela um
do denominador, resultando em
dividido por
; para ficar completamente claro, reescrevo com cuidados:)
Voltando e calculando explicitamente a segunda parcela antes de multiplicar:
Agora multiplicando ambos os lados por
obtém-se
Expandimos o lado direito: primeiro expandir
. Então
Agrupando termos semelhantes: os termos
e
cancelam; os termos em
somam
. Portanto o lado direito fica
Assim
Multiplicando ambos os lados por
e rearranjando:
Isso é exatamente a relação pedida.
Resposta
(a)
é a velocidade no tempo
,
é a velocidade inicial em
,
é a aceleração constante e
é o tempo desde
.\n
(b)
é a posição no tempo
,
é a posição inicial em
,
é a velocidade inicial,
é a aceleração constante e
é o tempo desde
.\n
(c)
(b)
(c)