O produto vetorial de dois vetores \vec{a} e \vec{b} é um vetor e seu módulo é dado por
\vec{a} \times \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \operatorname{sen} \theta
em que \theta é o ângulo entre esses dois vetores. Nesse contexto, explique o que é a regra da mão direita.
a) A seguir, demonstre que
\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{k}}=0, \hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}}, \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}}.
b) Usando esses resultados, \vec{a}=a_{x} \hat{\mathbf{i}}+a_{y} \hat{\mathbf{j}}+a_{z} \hat{\mathbf{k}} e \vec{b}=b_{x} \hat{\mathbf{i}}+b_{y} \hat{\mathbf{j}}+b_{z} \hat{\mathbf{k}}, verifique que

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. Explicar o que é a regra da mão direita (ou seja, como determinar a direção de \vec{a}\times\vec{b}).
  2. Demonstrar as identidades envolvendo os vetores unitários \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}:
\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{k}}=0,
\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}},\quad \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}},\quad \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}}.
  1. Usando esses resultados e as componentes \vec{a}=a_{x}\hat{\mathbf{i}}+a_{y}\hat{\mathbf{j}}+a_{z}\hat{\mathbf{k}} e \vec{b}=b_{x}\hat{\mathbf{i}}+b_{y}\hat{\mathbf{j}}+b_{z}\hat{\mathbf{k}}, verificar a fórmula para \vec{a}\times\vec{b} em termos das componentes.
Informações dadas que usaremos:
  • O módulo do produto vetorial é \|\vec{a}\times\vec{b}\|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}.
  • Os vetores \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}} são ortogonais entre si e cada um tem módulo 1.

Passo 2

O que é a regra da mão direita (explicação didática, sem jargão):
  • Ela é um procedimento prático para determinar a direção de \vec{a}\times\vec{b}.
  • Como usar:
    1. Aponte os dedos da sua mão direita na direção de \vec{a}.
    2. Dobre os dedos (sem mover o pulso) para que eles apontem na direção de \vec{b} passando pelo menor ângulo entre \vec{a} e \vec{b}.
    3. O polegar estendido então aponta na direção de \vec{a}\times\vec{b}.
  • Intuição: o sentido do produto vetorial segue uma orientação “cíclica” \hat{\mathbf{i}}\to\hat{\mathbf{j}}\to\hat{\mathbf{k}} (veremos isso nos próximos passos). Se invertermos a ordem ( \vec{b}\times\vec{a}), o resultado tem a direção oposta (isto é, \vec{b}\times\vec{a} = -(\vec{a}\times\vec{b})).
  • Um ponto importante: se \vec{a} e \vec{b} são paralelos (ou anti-paralelos), então \theta=0 ou \theta=\pi e \sin\theta=0, logo \vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}.

Passo 3

Demonstração de \hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{i}}=0 (mesmo raciocínio vale para \hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{j}} e \hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{k}}):
  • Observação: \hat{\mathbf{i}} e \hat{\mathbf{i}} são vetores idênticos, logo o ângulo entre eles é \theta=0.
  • Pela fórmula do módulo: \|\hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{i}}\|=|\hat{\mathbf{i}}||\hat{\mathbf{i}}|\sin 0 = 1\cdot 1\cdot 0 = 0.
  • Um vetor com módulo zero é o vetor nulo \vec{0}. Portanto \hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{i}}=\vec{0}.
  • Igual para \hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{j}}=\vec{0} e \hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{k}}=\vec{0}.

Passo 4

Demonstração de \hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}}:
  • Primeiro, \hat{\mathbf{i}} e \hat{\mathbf{j}} são ortogonais e de módulo 1. O ângulo entre eles é \theta=\tfrac{\pi}{2}, então \sin\theta=1. Assim o módulo de \hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{j}} é 1.
  • Agora a direção: aplicamos a regra da mão direita. Aponte os dedos na direção de \hat{\mathbf{i}} (eixo x), dobre-os para apontar na direção de \hat{\mathbf{j}} (eixo y); o polegar aponta para cima, direção do eixo z, que corresponde a \hat{\mathbf{k}}.
  • Portanto, como o módulo é 1 e a direção é \hat{\mathbf{k}}, \hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}}.
  • Isso ilustra também a orientação cíclica \hat{\mathbf{i}}\to\hat{\mathbf{j}}\to\hat{\mathbf{k}}.

Passo 5

Demonstração de \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}} e \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}}:
  • Para \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{k}}:
    • \hat{\mathbf{j}} (eixo y) e \hat{\mathbf{k}} (eixo z) são ortogonais, módulo do produto é 1.
    • Aplicando a regra da mão direita: dedo na direção de \hat{\mathbf{j}}, dobrar para \hat{\mathbf{k}}; o polegar aponta na direção de \hat{\mathbf{i}}.
    • Logo \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}}.
  • Para \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{i}}:
    • Mesma lógica: \hat{\mathbf{k}} para \hat{\mathbf{i}} leva o polegar para a direção de \hat{\mathbf{j}}.
    • Assim \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}}.
  • Comentário útil: as trocas contrárias dão sinais negativos, por exemplo \hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{i}} = -\hat{\mathbf{k}}. Isso segue da anticomutatividade \vec{u}\times\vec{v}=-\vec{v}\times\vec{u}.

Passo 6

Estratégia para calcular \vec{a}\times\vec{b} usando linearidade:
  • Produto vetorial é bilinear: ele é linear em cada argumento quando o outro está fixo. Em prática, isso significa que, se \vec{a} = a_x\hat{\mathbf{i}} + a_y\hat{\mathbf{j}} + a_z\hat{\mathbf{k}} e \vec{b} = b_x\hat{\mathbf{i}} + b_y\hat{\mathbf{j}} + b_z\hat{\mathbf{k}}, então \vec{a}\times\vec{b} = (a_x\hat{\mathbf{i}}+a_y\hat{\mathbf{j}}+a_z\hat{\mathbf{k}})\times(b_x\hat{\mathbf{i}}+b_y\hat{\mathbf{j}}+b_z\hat{\mathbf{k}}).
  • Expandimos distribuindo o produto (como se fosse multiplicação bilinear), lembrando que constantes saem do produto: \vec{a}\times\vec{b} = a_x b_x\,(\hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{i}}) + a_x b_y\,(\hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{j}}) + a_x b_z\,(\hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{k}})
\quad + a_y b_x\,(\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{i}}) + a_y b_y\,(\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{j}}) + a_y b_z\,(\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{k}})
\quad + a_z b_x\,(\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{i}}) + a_z b_y\,(\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{j}}) + a_z b_z\,(\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{k}}).

Passo 7

Substituir os produtos entre vetores unitários que já demonstramos:
  • Usando os resultados dos passos anteriores: \hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{i}}=\vec{0},\quad \hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{j}}=\vec{0},\quad \hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{k}}=\vec{0},
\hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}},\quad \hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}},\quad \hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}}.
  • E também a anticomutatividade para os pares na ordem reversa: \hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{i}}=-\hat{\mathbf{k}},\quad \hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{j}}=-\hat{\mathbf{i}},\quad \hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{k}}=-\hat{\mathbf{j}}.
  • Substituindo na expansão do passo anterior, muitos termos viram \vec{0} e os outros viram unitários com sinais apropriados: \vec{a}\times\vec{b} = a_x b_y\,\hat{\mathbf{k}} + a_x b_z\,(-\hat{\mathbf{j}}) + a_y b_x\,(-\hat{\mathbf{k}}) + a_y b_z\,\hat{\mathbf{i}}
\quad + a_z b_x\,\hat{\mathbf{j}} + a_z b_y\,(-\hat{\mathbf{i}}).

Passo 8

Agrupar termos por \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}:
  • Coeficiente de \hat{\mathbf{i}}:
    • vem de a_y b_z\,\hat{\mathbf{i}} e de -a_z b_y\,\hat{\mathbf{i}}.
    • Soma: a_y b_z - a_z b_y.
  • Coeficiente de \hat{\mathbf{j}}:
    • vem de a_z b_x\,\hat{\mathbf{j}} e de -a_x b_z\,\hat{\mathbf{j}}.
    • Soma: a_z b_x - a_x b_z.
  • Coeficiente de \hat{\mathbf{k}}:
    • vem de a_x b_y\,\hat{\mathbf{k}} e de -a_y b_x\,\hat{\mathbf{k}}.
    • Soma: a_x b_y - a_y b_x.
  • Portanto: \vec{a}\times\vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y)\,\hat{\mathbf{i}} + (a_z b_x - a_x b_z)\,\hat{\mathbf{j}} + (a_x b_y - a_y b_x)\,\hat{\mathbf{k}}.

Passo 9

Comentário prático e memória:
  • Uma forma rápida de lembrar é usar o “determinante” formal \vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\\ a_x & a_y & a_z \\\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix},que, ao desenvolver pela primeira linha, dá exatamente os componentes que encontramos.
  • Exemplo numérico rápido (para treinar): se \vec{a}=(1,2,3) e \vec{b}=(4,5,6), então
    • componente \hat{\mathbf{i}}: 2\cdot 6 - 3\cdot 5 = 12 - 15 = -3,
    • componente \hat{\mathbf{j}}: 3\cdot 4 - 1\cdot 6 = 12 - 6 = 6,
    • componente \hat{\mathbf{k}}: 1\cdot 5 - 2\cdot 4 = 5 - 8 = -3.
    • Resultado: \vec{a}\times\vec{b} = -3\hat{\mathbf{i}} + 6\hat{\mathbf{j}} - 3\hat{\mathbf{k}}.
  • Incentivo: pratique com vetores simples, use a regra da mão direita para checar o sinal e memorizar a ordem cíclica \hat{\mathbf{i}}\to\hat{\mathbf{j}}\to\hat{\mathbf{k}}.

Resposta

a) \hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{k}}=\vec{0},\quad \hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}},\quad \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}},\quad \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}}
b) \displaystyle \vec{a}\times\vec{b}=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\hat{\mathbf{i}}+(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})\hat{\mathbf{j}}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\hat{\mathbf{k}}

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