Suponha que \operatorname{arcsen} x=\frac{1}{4}. Determine o valore de:
\operatorname{cosec} x

Passo 1

O enunciado diz que
\arcsin x = \tfrac14.
Isso significa que o ângulo cujo seno é x vale \tfrac14 (em radianos). Nosso objetivo é calcular \csc x,
sabendo que \csc x = \tfrac1{\sin x}.

Passo 2

Da definição de arco-seno, temos
\arcsin x = \tfrac14 \quad\Longrightarrow\quad x = \sin\!\bigl(\tfrac14\bigr).

Passo 3

Agora basta usar a definição de cosecante:
\csc x = \frac1{\sin x}.
Como x = \sin\!\bigl(\tfrac14\bigr), substituímos e obtemos
\csc x = \frac1{\sin\bigl(\sin(\tfrac14)\bigr)}.

Resposta

\csc x = \frac{1}{\sin\bigl(\sin(\tfrac14)\bigr)}.

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