Suponha que \operatorname{arcsen} x=\frac{1}{4}. Determine o valore de:
\operatorname{cotg} x

Passo 1

O enunciado dá \arcsin x = \tfrac14. Isso significa que o ângulo x satisfaz
\sin x = \tfrac14.
Vamos usar a identidade trigonométrica \sin^2x + \cos^2x = 1 e a definição de cotangente para achar \cot x.

Passo 2

Da identidade
\sin^2x + \cos^2x = 1
temos
\cos^2x = 1 - \sin^2x = 1 - \bigl(\tfrac14\bigr)^2 = 1 - \tfrac1{16} = \tfrac{15}{16},
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\cos x = \sqrt{\tfrac{15}{16}} = \tfrac{\sqrt{15}}{4},
considerando x em um quadrante onde o cosseno é positivo.

Passo 3

Pela definição da cotangente,
\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}
então
\cot x = \frac{\tfrac{\sqrt{15}}{4}}{\tfrac{1}{4}} = \sqrt{15}.

Resposta

\sqrt{15}

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