Suponha uma paratícula P em movimento e dois referenciais, A e B. Mostre que
a)
\vec{r}_{P A}=\vec{r}_{P B}+\vec{r}_{B A},
em que \vec{r}_{P A}\left(\vec{r}_{P B}\right) é a posição da partícula P em
relação ao referencial A(B) e \vec{v}_{B A} é a posição do referencial B em relação ao referencial A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a igualdade
\vec{r}_{P A}=\vec{r}_{P B}+\vec{r}_{B A}.
Dados fornecidos:
  • \vec{r}_{P A} é a posição da partícula P em relação ao referencial A.
  • \vec{r}_{P B} é a posição da partícula P em relação ao referencial B.
  • O texto diz que \vec{v}_{B A} é a posição do referencial B em relação ao referencial A; isso parece ser um erro de notação. Vou interpretar que o que se quer é \vec{r}_{B A}, a posição (vetor) do referencial B em relação a A.\n
    O objetivo aqui é provar a igualdade vetorial acima, mostrando passo a passo por que ela é verdadeira.

Passo 2

Escolha de referência e definição das posições absolutas.\n
Para trabalhar de forma limpa, introduzimos um ponto de referência fixo arbitrário (origem) chamado O — pode ser qualquer ponto no espaço, serve apenas para definir vetores posição absolutos. Definimos:
\vec{r}_P=\text{vetor posição de }P\text{ em relação a }O,çãçã
\vec{r}_A=\text{vetor posição de }A\text{ em relação a }O,çãçã
\vec{r}_B=\text{vetor posição de }B\text{ em relação a }O.çãçã
Explicação da notação: por exemplo, \vec{r}_P é o vetor que aponta de O até P. Isso é só um rótulo; quaisquer vetores posição relativos a uma mesma origem obedecem às regras usuais de soma e subtração de vetores.

Passo 3

Definição do vetor “de um ponto X até um ponto Y”.\n
O vetor que vai de um ponto X até um ponto Y (denotado \overrightarrow{XY}) pode ser expresso pelas posições absolutas relativas a O como
\overrightarrow{XY}=\vec{r}_Y-\vec{r}_X.
Motivo: \vec{r}_Y vai de O até Y e \vec{r}_X vai de O até X; ao subtrair \vec{r}_X removemos a parte comum de O a X, sobrando exatamente o deslocamento de X para Y.\n
Usando essa fórmula, escrevemos explicitamente os vetores do enunciado em termos de \vec{r}_P,\vec{r}_A,\vec{r}_B:
\vec{r}_{P A}=\overrightarrow{A P}=\vec{r}_P-\vec{r}_A,
\vec{r}_{P B}=\overrightarrow{B P}=\vec{r}_P-\vec{r}_B,
\vec{r}_{B A}=\overrightarrow{A B}=\vec{r}_B-\vec{r}_A.
Observação sobre orientação: eu usei \vec{r}_{P A}=\overrightarrow{A P} porque a frase "posição da partícula P em relação ao referencial A" significa o vetor que vai de A até P. Do mesmo modo, \vec{r}_{B A} foi interpretado como o vetor que vai de A até B.

Passo 4

Derivação algébrica da igualdade pedida.\n
Substituímos as expressões do passo anterior:
\vec{r}_{P A}=\vec{r}_P-\vec{r}_A.
Agora escrevemos \vec{r}_P-\vec{r}_A como soma de dois termos que aparecem na definição de \vec{r}_{P B} e \vec{r}_{B A}:
\vec{r}_P-\vec{r}_A=(\vec{r}_P-\vec{r}_B)+(\vec{r}_B-\vec{r}_A).
Mas pelos itens do passo anterior temos \vec{r}_P-\vec{r}_B=\vec{r}_{P B} e \vec{r}_B-\vec{r}_A=\vec{r}_{B A}. Portanto
\vec{r}_{P A}=\vec{r}_{P B}+\vec{r}_{B A}.
Pronto — essa é exatamente a igualdade que queríamos demonstrar. A manipulação é direta: escrevemos cada vetor relativo como diferença de vetores posição absolutos e rearranjamos.

Passo 5

Interpretação geométrica (intuição que ajuda na prova e na prova em prova oral).\n
A propriedade acima é a regra do triângulo para deslocamentos: se você vai de A até B ( \vec{r}_{B A}) e depois de B até P ( \vec{r}_{P B}), o deslocamento total é ir de A até P ( \vec{r}_{P A}). Em símbolos:
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B P}=\overrightarrow{A P}.
Isso é exatamente a mesma relação que provamos algebraicamente.\n
Exemplo numérico rápido para fixar: suponha, em coordenadas cartesianas relativas a O, que \vec{r}_A=(1,0), \vec{r}_B=(3,1), \vec{r}_P=(4,2). Então
\vec{r}_{P A}=\vec{r}_P-\vec{r}_A=(4,2)-(1,0)=(3,2),
\vec{r}_{P B}=\vec{r}_P-\vec{r}_B=(4,2)-(3,1)=(1,1),
\vec{r}_{B A}=\vec{r}_B-\vec{r}_A=(3,1)-(1,0)=(2,1).
E de fato (1,1)+(2,1)=(3,2), que é \vec{r}_{P A}.\n
Comentário final e incentivo: essa identidade é muito útil e aparece direto em problemas de física (mudança de referencial). Se você memorizar a ideia “A→B + B→P = A→P” já resolve a maior parte das questões parecidas — e quando precisar de rigor, faça a escrita com subtração de vetores posição como fizemos.

Resposta

\vec{r}_{P A}=\vec{r}_{P B}+\vec{r}_{B A}

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