b) Mostre que
\vec{v}(t)=-\omega R \operatorname{sen}(\omega t) \hat{\mathbf{i}}+\omega R \cos (\omega t) \hat{\mathbf{j}} .
Parta da equação (30) para concluir que |\vec{v}(t)|=\omega R, isto é,
v=\omega R=\frac{2 \pi R}{T} .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que a velocidade vetorial é
\vec{v}(t)=-\omega R \operatorname{sen}(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}+\omega R \cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}},
e (ii) partir da equação (30) para concluir que o módulo de \vec{v}(t) é \omega R, isto é,
v=\omega R=\frac{2\pi R}{T}.
As informações relevantes que temos (tiradas da equação (30) pedida no enunciado) são: a posição do ponto que descreve um movimento circular uniforme é
\vec{r}(t)=R\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}+R\sin(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}},
onde R é o raio do círculo (constante), \omega é a velocidade angular (constante) e T é o período do movimento (tempo para uma volta completa). A resolução começa a seguir.

Passo 2

Vamos lembrar como obter a velocidade a partir da posição: a velocidade vetorial é a derivada temporal da posição,
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}.
Explicando a operação componente a componente: as componentes escalares da posição são x(t)=R\cos(\omega t) e y(t)=R\sin(\omega t). As derivadas de funções trigonométricas com argumento composto usam a regra da cadeia. Em particular:
  • a derivada de \cos(u) em relação a t é -\sin(u)\cdot \frac{du}{dt};
  • a derivada de \sin(u) em relação a t é \cos(u)\cdot \frac{du}{dt}.
    Aqui u=\omega t, então \frac{du}{dt}=\omega porque \omega é constante. Além disso, os vetores unitários \hat{\mathbf{i}} e \hat{\mathbf{j}} são constantes e saem da derivada.

Passo 3

Agora derivamos cada componente seguindo a explicação do passo anterior:
Derivada da componente x(t)=R\cos(\omega t):
\frac{d}{dt}\big(R\cos(\omega t)\big)=R\cdot\big(-\sin(\omega t)\big)\cdot\omega=-\omega R\,\operatorname{sen}(\omega t).
Derivada da componente y(t)=R\sin(\omega t):
\frac{d}{dt}\big(R\sin(\omega t)\big)=R\cdot\cos(\omega t)\cdot\omega=\omega R\cos(\omega t).
Recolocando os vetores unitários, temos imediatamente
\vec{v}(t)=-\omega R\,\operatorname{sen}(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}+\omega R\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}},
que é exatamente a expressão pedida.

Passo 4

Agora vamos calcular o módulo de \vec{v}(t). Para um vetor em componentes v_x(t) e v_y(t),
|\vec{v}(t)|=\sqrt{v_x(t)^2+v_y(t)^2}.
Aqui v_x(t)=-\omega R\,\operatorname{sen}(\omega t) e v_y(t)=\omega R\cos(\omega t). Calculamos o quadrado do módulo:
|\vec{v}(t)|^2 = \big(-\omega R\,\operatorname{sen}(\omega t)\big)^2 + \big(\omega R\cos(\omega t)\big)^2.
Fatorando \omega^2 R^2,
|\vec{v}(t)|^2 = \omega^2 R^2\big(\operatorname{sen}^2(\omega t)+\cos^2(\omega t)\big).
Usando a identidade trigonométrica fundamental \operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1, obtemos
|\vec{v}(t)|^2 = \omega^2 R^2.
Tomando a raiz positiva (o módulo é não-negativo),
|\vec{v}(t)|=\omega R.
Isso mostra que a velocidade escalar é constante e igual a \omega R.

Passo 5

Finalmente relacionamos \omega com o período T. Uma volta completa corresponde a um ângulo de 2\pi radianos e isso acontece em tempo T. A velocidade angular \omega é a variação do ângulo por unidade de tempo, logo
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Substituindo em v=\omega R obtemos
v=\omega R=\frac{2\pi}{T}\,R=\frac{2\pi R}{T},
como requisitado.

Resposta

\vec{v}(t)=-\omega R \operatorname{sen}(\omega t)\,\hat{\mathbf{i}}+\omega R \cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{j}}
v=\omega R=\frac{2\pi R}{T}

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