b) Mostre que
Parta da equação (30) para concluir que
, isto é,
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que a velocidade vetorial é
e (ii) partir da equação (30) para concluir que o módulo de
é
, isto é,
As informações relevantes que temos (tiradas da equação (30) pedida no enunciado) são: a posição do ponto que descreve um movimento circular uniforme é
onde
é o raio do círculo (constante),
é a velocidade angular (constante) e
é o período do movimento (tempo para uma volta completa). A resolução começa a seguir.
Passo 2
Vamos lembrar como obter a velocidade a partir da posição: a velocidade vetorial é a derivada temporal da posição,
Explicando a operação componente a componente: as componentes escalares da posição são
e
. As derivadas de funções trigonométricas com argumento composto usam a regra da cadeia. Em particular:
- a derivada de
em relação a é ; - a derivada de
em relação a é .
Aqui, então porque é constante. Além disso, os vetores unitários e são constantes e saem da derivada.
Passo 3
Agora derivamos cada componente seguindo a explicação do passo anterior:
Derivada da componente
:
Derivada da componente
:
Recolocando os vetores unitários, temos imediatamente
que é exatamente a expressão pedida.
Passo 4
Agora vamos calcular o módulo de
. Para um vetor em componentes
e
,
Aqui
e
. Calculamos o quadrado do módulo:
Fatorando
,
Usando a identidade trigonométrica fundamental
, obtemos
Tomando a raiz positiva (o módulo é não-negativo),
Isso mostra que a velocidade escalar é constante e igual a
.
Passo 5
Finalmente relacionamos
com o período
. Uma volta completa corresponde a um ângulo de
radianos e isso acontece em tempo
. A velocidade angular
é a variação do ângulo por unidade de tempo, logo
Substituindo em
obtemos
como requisitado.