Suponha que o peso dos 35000 alunos da UFSC, matriculados no primeiro semestre de 2005 , seja normalmente distribuído com média de 60.5 e desvio padrão de 12 kg . Na hipótese de se utilizarem amostras de tamanho 36:
E abaixo de 55?
E abaixo de 55?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz uma pergunta clara:
- População: pesos dos
alunos (o tamanho populacional não é usado diretamente aqui). - Média populacional:
kg. - Desvio padrão populacional:
kg. - Tamanho da amostra:
. - Pergunta: qual a probabilidade da média amostral ser abaixo de
? Ou seja, calcular .
Passo 2
Primeira lição importante (explicação didática): quando a população é normalmente distribuída, a média amostral
também é normalmente distribuída para qualquer tamanho de amostra
. A distribuição de
tem média igual à média populacional e desvio padrão reduzido chamado erro padrão (standard error). As fórmulas são estas:
Aqui:
-
é a média da população (já dada). -
é o desvio padrão da população. -
é o tamanho da amostra. -
é o desvio padrão da média amostral (erro padrão).
Isso significa que
.
Passo 3
Calcule o erro padrão usando os números dados:
Portanto a média amostral tem distribuição
.
Passo 4
Vamos padronizar para usar a tabela da normal padrão. A padronização (z-score) é:
Queremos
. Substituindo:
Logo
Passo 5
Como a distribuição
é simétrica em torno de zero, usamos a tabela da normal padrão:
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão em
. Pela tabela padrão temos aproximadamente
. Logo
Em porcentagem isso é aproximadamente
. Interpretação: é muito raro obter uma média amostral abaixo de
quando a verdadeira média é
e o erro padrão é
.
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (resumindo o método que você deve lembrar):
- Calcule o erro padrão
. - Padronize com
. - Use tabela da normal padrão (ou calculadora) e lembre da simetria
. - Se a população já é normal, a média amostral é exatamente normal; se não for e
for grande, vale o Teorema Central do Limite.
Força aí — você já sabe o procedimento completo para resolver esse tipo de questão!