Suponha que o peso dos 35000 alunos da UFSC, matriculados no primeiro semestre de 2005 , seja normalmente distribuído com média de 60.5 e desvio padrão de 12 kg . Na hipótese de se utilizarem amostras de tamanho 36:
E abaixo de 55?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz uma pergunta clara:
  • População: pesos dos 35000 alunos (o tamanho populacional não é usado diretamente aqui).
  • Média populacional: \mu = 60,5 kg.
  • Desvio padrão populacional: \sigma = 12 kg.
  • Tamanho da amostra: n = 36.
  • Pergunta: qual a probabilidade da média amostral ser abaixo de 55? Ou seja, calcular P(\bar{X} < 55).

Passo 2

Primeira lição importante (explicação didática): quando a população é normalmente distribuída, a média amostral \bar{X} também é normalmente distribuída para qualquer tamanho de amostra n. A distribuição de \bar{X} tem média igual à média populacional e desvio padrão reduzido chamado erro padrão (standard error). As fórmulas são estas:
\text{Média de }\bar{X} = \mué
\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
Aqui:
  • \mu é a média da população (já dada).
  • \sigma é o desvio padrão da população.
  • n é o tamanho da amostra.
  • \sigma_{\bar{X}} é o desvio padrão da média amostral (erro padrão).
Isso significa que \bar{X}\sim N\left(\mu,\;\sigma_{\bar{X}}^{2}\right).

Passo 3

Calcule o erro padrão usando os números dados:
\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{12}{\sqrt{36}}=\frac{12}{6}=2.
Portanto a média amostral tem distribuição \bar{X}\sim N(60,5,\;2^{2}).

Passo 4

Vamos padronizar para usar a tabela da normal padrão. A padronização (z-score) é:
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma_{\bar{X}}}.
Queremos P(\bar{X}<55). Substituindo:
Z=\frac{55-60,5}{2}=\frac{-5,5}{2}=-2,75.
Logo
P(\bar{X}<55)=P\!\left(Z< -2,75\right).

Passo 5

Como a distribuição Z é simétrica em torno de zero, usamos a tabela da normal padrão:
P(Z<-2,75)=P(Z>2,75)=1-\Phi(2,75),
onde \Phi(2,75) é a função de distribuição acumulada da normal padrão em 2,75. Pela tabela padrão temos aproximadamente \Phi(2,75)=0,99702. Logo
P(Z<-2,75)=1-0,99702=0,00298.
Em porcentagem isso é aproximadamente 0,298\%. Interpretação: é muito raro obter uma média amostral abaixo de 55 quando a verdadeira média é 60,5 e o erro padrão é 2.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (resumindo o método que você deve lembrar):
  • Calcule o erro padrão \sigma/\sqrt{n}.
  • Padronize com Z=(\bar{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n}).
  • Use tabela da normal padrão (ou calculadora) e lembre da simetria P(Z<-a)=1-\Phi(a).
  • Se a população já é normal, a média amostral é exatamente normal; se não for e n for grande, vale o Teorema Central do Limite.
Força aí — você já sabe o procedimento completo para resolver esse tipo de questão!

Resposta

P(\bar{X}<55)=0,00298

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